1)Сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, равна 20. В ту же окружность вписан квадрат. Чему равна площадь круга, вписанного в этот. Сторона правильного шестиугольника вписанного в окружность


Правильный шестиугольник, площадь правильного шестиугольника

Знаете ли вы, как выглядит правильный шестиугольник?Этот вопрос задан не случайно. Большинство учащихся 11 класса не знают на него ответа.

Правильный шестиугольник — такой, у которого все стороны равны и все углы тоже равны.

Железная гайка. Снежинка. Ячейка сот, в которых живут пчелы. Молекула бензола. Что общего у этих объектов? — То, что все они имеют правильную шестиугольную форму.

Многие школьники теряются, видя задачи на правильный шестиугольник, и считают, что для их решения нужны какие-то особые формулы. Так ли это?

Проведем диагонали правильного шестиугольника. Мы получили шесть равносторонних треугольников.

Мы знаем, что площадь правильного треугольника: .

Тогда площадь правильного шестиугольника — в шесть раз больше.

, где — сторона правильного шестиугольника.

Обратите внимание, что в правильном шестиугольнике расстояние от его центра до любой из вершин одинаково и равно стороне правильного шестиугольник.

Значит, радиус окружности, описанной вокруг правильного шестиугольника, равен его стороне.Радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник, нетрудно найти.Он равен .Теперь вы легко решите любые задачи ЕГЭ, в которых фигурирует правильный шестиугольник.

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

1. Найдите радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник со стороной .

Радиус такой окружности равен .

Ответ: 1,5.

2. Чему равна сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, радиус которой равен 6?

Мы знаем, что сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной вокруг него окружности.

Ответ: 6.

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)                        +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

ege-study.ru

Правильный шестиугольник и его свойства

Определение

Выпуклый многоугольник называется правильным, если все его стороны равны и все его углы равны.

 

Замечание

Т.к. сумма всех углов \(n\)–угольника равна \(180^\circ(n-2)\), то каждый угол правильного \(n\)–угольника равен \[\alpha_n=\dfrac{n-2}n \cdot 180^\circ\]

Пример

Каждый угол правильного четырехугольника (т.е. квадрата) равен \(\dfrac {4-2}4\cdot 180^\circ=90^\circ\);

 

каждый угол правильного шестиугольника равен \(\dfrac{6-2}6\cdot 180^\circ=120^\circ\).

 

Теоремы

1. Около любого правильного многоугольника можно описать окружность, и притом только одну.

 

2. В любой правильный многоугольник можно вписать окружность, и притом только одну.

 

Следствия

1. Окружность, вписанная в правильный многоугольник, касается всех его сторон в серединах.

 

2. Центры вписанной и описанной окружности у правильного многоугольника совпадают.

 

Теорема

Если \(a\) – сторона правильного \(n\)–угольника, \(R\) и \(r\) – радиусы описанной и вписанной окружностей соответственно, то верны следующие формулы: \[\begin{aligned} S&=\dfrac n2ar\\ a&=2R\cdot \sin\dfrac{180^\circ}n\\ r&=R\cdot \cos\dfrac{180^\circ}n \end{aligned}\]

 

Свойства правильного шестиугольника

1. Сторона равна радиусу описанной окружности: \(a=R\).

2. Радиус описанной окружности является биссектрисой угла правильного шестиугольника.

3. Все углы правильного шестиугольника равны \(120^\circ\).

4. Площадь правильного шестиугольника со стороной \(a\) равна \(\dfrac{3\sqrt{3}}{2}a^2\).

5. Диагонали пересекаются в одной точке и делят его на 6 равносторонних треугольников, у которых высота равна радиусу \(r\) вписанной в правильный шестиугольник окружности.

6. Инвариантен относительно поворота плоскости на угол, кратный \(60^\circ\) относительно центра описанной окружности (слово “инвариантный” означает, что при таких поворотах правильный шестиугольник перейдёт в себя, то есть такие повороты являются его симметриями).

 

Замечание

В общем случае правильный \(n\)-угольник инвариантен относительно поворота на угол \(\dfrac{360^\circ}{n}\).

shkolkovo.net

Радиус вписанной окружности в шестиугольник

Шестиугольник является правильным многоугольником, так как у него все стороны и углы равны. А значит, в любой шестиугольник можно вписать окружность.Вписанная окружность в шестиугольникТочка O –центр правильного многоугольника, также является центром вписанной в него окружности.Центр правильного многоугольника равноудален от его сторон. Отрезок, соединяющий центр с точкой касания вписанной окружности называется апофемом и является радиусом вписанной окружности.

Существует классическая формула для нахождения радиуса вписанной окружности в правильный многоугольник

r={ a / { 2tg{{180^0}/n}} }

Для правильного шестиугольника n=6, тогда угол будет равен {{180^0}/6}=30^0По тригонометрической таблице tg(30°)=sqrt{3}/2Тогда формула радиуса вписанной окружности в шестиугольник имеет следующий видРадиус вписанной окружности в шестиугольник равен половине произведения стороны и корня квадратного из 3

r={ {a sqrt{3}} / 2} Иконка карандаша 24x24Пример расчета радиуса окружности вписанной в шестиугольникНайдите радиус окружности вписанной в правильный шестиугольник со стороной 6 Применив формулу радиуса вписанной окружности в шестиугольник, имеемr={ {a sqrt{3}} / 2}={{6 sqrt {3}} / 2 }=3 sqrt{3}= 5.2

2mb.ru

1)Сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, равна 20. В ту же

Ответ:

№1.

R - радиус описанной окружности, r - радиус окружности, вписанной в квадрат, а - сторона правильного шестиугольника, х - сторона квадрата, S - площадь круга.

R=a=20

Ответ: площадь круга, вписанного в квадрат, 628.

№2.

а - сторона правильного шестиугольника

Ответ: сторона правильного шестиугольника .

№3.

Каждый из пяти углов правильного пятиугольника равен

.

Если провести две диагонали из одного угла, то они разделят пятиугольник на три треугольника. Рассмотрим два треугольника, в которых две из сторон являются сторонами исходного пятиугольника. Эти треугольники равны по первому признаку равенства треугольников, кроме того, они оба равнобедренные. Величина равных углов равна . Угол между диагоналями будет равен 108^0-2\cdot 36^0=36^0

Ответ: угол между двумя диагоналями, проведенными из одной вершины правильного пятиугольника, равен 36^0 .

 

 

 

 

globuss24.ru

1)Сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, равна 20. В ту же окружность вписан квадрат. Чему равна площадь круга, вписанного в этот

Kaif919

16 февр. 2014 г., 10:34:25 (4 года назад)

№1.

R - радиус описанной окружности, r - радиус окружности, вписанной в квадрат, а - сторона правильного шестиугольника, х - сторона квадрата, S - площадь круга.

R=a=20

Ответ: площадь круга, вписанного в квадрат, 628.

№2.

а - сторона правильного шестиугольника

Ответ: сторона правильного шестиугольника .

№3.

Каждый из пяти углов правильного пятиугольника равен

.

Если провести две диагонали из одного угла, то они разделят пятиугольник на три треугольника. Рассмотрим два треугольника, в которых две из сторон являются сторонами исходного пятиугольника. Эти треугольники равны по первому признаку равенства треугольников, кроме того, они оба равнобедренные. Величина равных углов равна . Угол между диагоналями будет равен 108^0-2\cdot 36^0=36^0

Ответ: угол между двумя диагоналями, проведенными из одной вершины правильного пятиугольника, равен 36^0 .

 

 

 

 

russkij-yazyk.neznaka.ru

1.Периметр правильного шестиугольника, вписанного в окружность,равна 48 см.Найти сторону квадрата,вписанного в ту же окр

1) Сторона правиьного шестиугольника равна: периметр 48/6 = 8 см. 2) Сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной окружности, т. е. R = 8см. 3) Сторона вписанного квадрата связана с радиусом описанной окружности соотношением: a = R√2 = 8√2 см. Ответ: а = 8√2 см

Анечка, я не очень уверенна в правильности своего решения, но думаю, что надо решить так: периметр равен сумме всех сторон, т. е. 48см. : 6 = 8см. (одна сторона шестиугольника) , периметр вписанного квадрата в эту же окружность тоже должен быть равен 48см. Значит 48см. : 4 = 12см. (одна сторона квадрата )

1) Сторона правиьного шестиугольника равна: периметр 48/6 = 8 см. 2) Сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной окружности, т. е. R = 8см. 3) Сторона вписанного квадрата связана с радиусом описанной окружности соотношением: a = R√2 = 8√2 см. Ответ: а = 8√2 см

touch.otvet.mail.ru