Формула радиуса вписанной в равнобедренный треугольник окружности. Найти радиус вписанной окружности в равнобедренный треугольник


Радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник

Радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, можно найти по стандартной формуле.

Свойства равнобедренного треугольника дают возможность получить дополнительные формулы. Рассмотрим некоторые из них.

radius okruzhnosti vpisannoy v ravnobedrennyiy treugolnik Поскольку для равнобедренного треугольника полупериметр

    \[p = \frac{a}{2} + b,\]

то

    \[r = \frac{S}{{\frac{a}{2} + b}} = \frac{{2S}}{{a + 2b}}.\]

Так как формула площади равнобедренного треугольника по формуле Герона равна

    \[S = \frac{a}{2}\sqrt {{b^2} - \frac{{{a^2}}}{4}} ,\]

то

    \[r = \frac{{2 \cdot \frac{a}{2}\sqrt {{b^2} - \frac{{{a^2}}}{4}} }}{{a + 2b}} = \frac{{a\sqrt {{b^2} - \frac{{{a^2}}}{4}} }}{{a + 2b}}.\]

Эту формулу можно упростить

    \[r = \frac{{a\sqrt {4{b^2} - {a^2}} }}{{2(a + 2b)}} = \frac{{a\sqrt {(2b - a)(2b + a)} }}{{2(2b + a)}}\]

Таким образом, радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, равен

    \[r = \frac{a}{2}\sqrt {\frac{{2b - a}}{{2b + a}}} .\]

Если найти площадь по боковой стороне  b и высоте, проведенной к основанию ha:

    \[S = {h_a}\sqrt {{b^2} - h_a^2} ,\]

    \[p = b + \sqrt {{b^2} - h_a^2} ,\]

то получим еще одну формулу для нахождения радиуса вписанной в равнобедренный треугольник окружности:

    \[r = \frac{{{h_a}\sqrt {{b^2} - h_a^2} }}{{b + \sqrt {{b^2} - h_a^2} }}\]

radius vpisannoy v ravnobedrennyiy treugolnik okruzhnostiТак как центр вписанной в треугольник окружности является точкой пересечения биссектрис треугольника, если известны углы при вершине и основании

    \[\angle ACB = \alpha ,\angle BAC = \beta ,\]

то

    \[\angle ACF = \frac{\alpha }{2},\angle FAO = \frac{\beta }{2}\]

Из прямоугольного треугольника AOF

    \[tg\angle FAO = \frac{{OF}}{{AF}},\]

    \[r = \frac{a}{2}tg\frac{\beta }{2}\]

Если известна боковая сторона и угол при основании, из прямоугольного треугольника ACF найдем AF

    \[AF = AC\cos \angle ACF = b\cos \beta ,\]

а затем из треугольника AOF — OF:

    \[r = b\cos \beta tg\frac{\beta }{2}.\]

Эти формулы могут помочь ускорить вычисления. Запоминать их необязательно, достаточно повторить рассуждения.

www.treugolniki.ru

Радиус вписанной окружности в равнобедренный треугольник

1. Формулы радиуса вписанной окружности если известны: стороны и угол

Радиус вписанной окружности в равнобедренный треугольник

 

a - равные стороны равнобедренного треугольника

b - сторона ( основание)

α - угол при основании

О - центр вписанной окружности

r - радиус вписанной окружности

 

Формула радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник через стороны ( r ) :

Формула 1 радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник

 

 

Формула радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник через сторону и угол ( r ) :

Формула 2 радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник

 

Формула 3 радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник

 

2. Формулы радиуса вписанной окружности если известны: сторона и высота

Радиус вписанной окружности в равнобедренный треугольник

 

a - равные стороны равнобедренного треугольника

b - сторона ( основание)

h - высота

О - центр вписанной окружности

r - радиус вписанной окружности

 

Формула радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник через сторону и высоту ( r ) :

Формула 4 радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник

Формула 5 радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник

Подробности Автор: Administrator Опубликовано: 09 сентября 2011 Обновлено: 27 мая 2017

www-formula.ru

Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник

Определение и формулы окружности, вписанной в равнобедренный треугольник

Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник

Центром окружности, вписанной в треугольник, является точка пересечения биссектрис углов треугольника.

В любой треугольник можно вписать окружность, причем, только одну.

Рассмотрим окружность, вписанную в равнобедренный треугольник (тот, у которого две стороны равны между собой)

Радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник можно вычислить по стандартной формуле

    \[r=\frac{S}{p} ,\]

а также его можно выразить через стороны a и b следующим образом:

    \[r=\frac{b}{2} \sqrt{\frac{2a-b}{2a+b}} \]

Примеры решения задач

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com

Все формулы для радиуса вписанной окружности

1. Формулы радиуса вписанной окружности если известны: диагональ, стороны и угол

Радиус вписанной окружности в ромб

 

a - сторона ромба

D - большая диагональ

d - меньшая диагональ

α - острый угол

О - центр вписанной окружности

r - радиус вписанной окружности

 

Формула радиуса вписанной окружности в ромб через диагонали ( r ) :

Формула 1 радиуса вписанной окружности в ромб

 

Формула радиуса вписанной окружности в ромб через сторону и угол ( r ) :

Формула 2 радиуса вписанной окружности в ромб

 

Формула радиуса вписанной окружности в ромб через диагональ и угол ( r ) :

Формула 3 радиуса вписанной окружности в ромб

Формула 4 радиуса вписанной окружности в ромб

 

Формула радиуса вписанной окружности в ромб через диагональ и сторону ( r ) :

Формула 5 радиуса вписанной окружности в ромб

Формула 6 радиуса вписанной окружности в ромб

 

 

2. Радиус вписанной окружности ромба, равен половине его высоты

Радиус вписанной окружности в ромб

 

a - сторона ромба

h - высота

О - центр вписанной окружности

r - радиус вписанной окружности

 

Формула радиуса вписанной окружности в ромб ( r ) :

Формула 7 радиуса вписанной окружности в ромб

 

www-formula.ru

Как найти радиус вписанной окружности в равнобедренном треугольнике?

Содержание

  1. Инструкция

Как найти радиус вписанной окружности в равнобедренном треугольнике?

Зная стороны треугольника, можно найти радиус вписанной в него окружности. Для этого используется формула, позволяющая найти радиус, а затем, длину окружности и площадь круга, а также другие параметры.

Инструкция

  • Представьте себе равнобедренный треугольник, в который вписана окружность неизвестного радиуса R. Поскольку окружность является вписанной в треугольник, а не описанной вокруг него, все стороны этого треугольника являются касательными к ней. Высота, проведенная из вершины одного угла перпендикулярно к основанию, совпадает с медианой этого треугольника. Она проходит через радиус вписанной окружности.Следует отметить, что равнобедренным называется тот треугольник, у которого две боковые стороны равны. Углы при основании этого треугольника должны быть тоже равны. Такой треугольник, одновременно, можно вписать в окружность и описать около нее.
  • Сначала найдите неизвестное основание треугольника. Для этого, как уже сказано выше, проведите высоту из вершины треугольника к его основанию. Высота пересечет центр окружности. Если известна хотя бы одна из сторон треугольника, например, сторона CB, то вторая сторона ей равна, так как треугольник является равнобедренным. В данном случае, это - сторона AC. Третью сторону, которая является основанием треугольника, найдите по теореме Пифагора:c^2=a^2+a^2-2a^2*cosyУгол y между двумя равными сторонами найдите исходя из того, что в равнобедренном треугольнике два угла равны. Соответственно, третий угол равен y=180-(a+b).
  • Найдя все три стороны треугольника, перейдите к решению задачи. Формула, связывающая длины сторон и радиус, выглядит следующим образом:r=(p-a)(p-b)(p-c)/p, где p=a+b+c/2 - сумма всех сторон, разделенных пополам, или полупериметр.Если в окружность вписан равнобедренный треугольник, то в таком случае гораздо легче находить радиус окружности. При знании радиуса окружности, можно найти такие важные параметры, как площадь круга и длина окружности. Если в задании, наоборот, дан радиус окружности - это является, в свою очередь, предпосылкой к нахождению сторон треугольника. Найдя стороны треугольника, можно вычислить его площадь и периметр. Эти вычисления широко применяются во многих инженерных задачах. Планиметрия - это базовая наука, с помощью которой изучают более сложные геометрические вычисления.

completerepair.ru

Формула радиуса вписанной в равнобедренный треугольник окружности

Вопросы » Алгебра 7-9 классы + ГИА » 8 кл При каких значениях переменной y имеет смысл выражение 2/(корень y+3)?. 8 кл При каких значениях переменной y имеет смысл выражение 2/(корень y+3)?. создана: 22.11.2013 в 11:04

Совет 1: Как найти радиус вписанной окружности в равнобедренном треугольнике?

    Как найти радиус вписанной окружности в равнобедренном треугольнике? Как вписать четырехугольник в окружность в 2018 году Как описать многоугольник

Следует отметить, что равнобедренным называется тот треугольник, у которого две боковые стороны равны. Углы при основании этого треугольника должны быть тоже равны. Такой треугольник, одновременно, можно вписать в окружность и описать около нее.

Угол y между двумя равными сторонами найдите исходя из того, что в равнобедренном треугольнике два угла равны. Соответственно, третий угол равен y=180-(a+b).

R=(p-a)(p-b)(p-c)/p, где p=a+b+c/2 — сумма всех сторон, разделенных пополам, или полупериметр.

Если в окружность вписан равнобедренный треугольник, то в таком случае гораздо легче находить радиус окружности. При знании радиуса окружности, можно найти такие важные параметры, как площадь круга и длина окружности. Если в задании, наоборот, дан радиус окружности — это является, в свою очередь, предпосылкой к нахождению сторон треугольника. Найдя стороны треугольника, можно вычислить его площадь и периметр. Эти вычисления широко применяются во многих инженерных задачах. Планиметрия — это базовая наука, с помощью которой изучают более сложные геометрические вычисления.

    равнобедренный треугольник и вписанная окружность

Совет 2: Как найти радиус описанной окружности

    Знать стороны многоугольника, его площадь/периметр.

Если окружность описана вокруг треугольника со сторонами a, b, c, площадью S и углом?, лежащим против стороны a, то ее радиус R может быть рассчитан по следующим формулам:

Для расчета радиуса Окружности, описанной вокруг правильного многоугольника, нужно воспользоваться следующей формулой:

R = a/(2 x sin (360 / (2 x n))), где

A — сторона правильного многоугольника;

Тезис, гласящий, что центром описанной вокруг многоугольника окружности является пересечение его серединных перпендикуляров, справедлив для всех правильных многоугольников.

    как найти радиус многоугольника

Совет 3: Как найти высоту в равнобедренном треугольнике

По теореме Пифагора (AB^2) = (BE^2)+(AE^2). Тогда (BE^2) = sqrt((AB^2)-(AE^2)). Так как AE одновременно и медиана треугольника ABC, то BE = BC/2. Следовательно, (BE^2) = sqrt((AB^2)-((BC^2)/4)).

Если задан угол при основании ABC, то из прямоугольного треугольника высота AE равна AE = AB/sin(ABC). Угол BAE = BAC/2, так как AE — биссектриса треугольника. Отсюда, AE = AB/cos(BAC/2).

Пусть S — площадь этого треугольника. Сторону AC, на которую опущена высота, можно обозначить за b. Тогда из формулы площади треугольника будет находиться длина высоту BK: BK = 2S/b.

    высоты равнобедренного треугольника

Совет 4: Как найти длину окружности круга

Совет 5: Как найти угол в равнобедренном треугольнике

    Стороны равнобедренного треугольника, один из углов, радиус описанной вокруг треугольника окружности.

Β = π — 2*π. π — это константа, ее размер принято считать равной 3.14.

Совет 6: Как найти длину стороны в равнобедренном треугольнике

    как вычислить сторону равнобедренного треугольника

Совет 7: Как найти третий угол в треугольнике

    Таблицы Брадиса для нахождения величин тригонометрических функций в 2018

Совет 8: Как найти неизвестную сторону в треугольнике

    — треугольник с заданными параметрами; — калькулятор; — ручка; — карандаш; — транспортир; — лист бумаги; — компьютер с программой AutoCAD; — теоремы синусов и косинусов.
    неизвестная сторона треугольника в 2018

Совет 9: Как найти длину вписанной окружности

Совет 10: Как вписать треугольник в круг

    — циркуль; — бумага; — карандаш; — линейка.
    круг вписанный в треугольник

Совет 11: Как найти центр вписанной окружности

    — многоугольник; — угол заданного размера; — окружность с заданным радиусом; — циркуль; — линейка; — карандаш; — калькулятор.

Совет 12: Как найти длину вписанной окружности в треугольник

Совет 13: Как найти длину высоты в равнобедренном треугольнике

Совет 14: Как вычислять длину окружности и площадь круга

    нахождение площади круга и длины окружности

Совет 15: Как найти угол между касательными

Формула радиуса вписанной в равнобедренный треугольник окружности

Формула радиуса вписанной в равнобедренный треугольник окружности

В равнобедренном треугольнике длина сонования равна 6, а диаметр вписанной окружности равен 2. Найдите радиус описанной около данного трегольника окружность( с рисунком, если можно).

    Попроси больше объяснений Следить Отметить нарушение

Mumosha 06.10.2013

Ответы и объяснения

Формула радиуса вписанной в равнобедренный треугольник окружности:

R = (b/2)*√(2a-b)/(2a+b), где a — боковая сторона, b — основание. Подставим известные величины и получим для r² = (b²/4)*(2a-b)/(2a+b) или 4 = 9* (2a-6)/(2a+6) или 4= 9*(a-3)/(a+3). Отсюда а = 7,8.

Формула радиуса описанной вокруг равнобедренного треугольника окружности:

R= a²/√(4a²-b²). Подставив известные значения, имеем: R= a²/√(4a²-b²) = 60,84/√(4*60,84-36) = 4,225см

Формула радиуса вписанной в равнобедренный треугольник окружности

Формула радиуса вписанной в равнобедренный треугольник окружности

В равнобедренном треугольнике длина сонования равна 6, а диаметр вписанной окружности равен 2. Найдите радиус описанной около данного трегольника окружность( с рисунком, если можно).

    Попроси больше объяснений Следить Отметить нарушение

Mumosha 06.10.2013

Ответы и объяснения

Формула радиуса вписанной в равнобедренный треугольник окружности:

R = (b/2)*√(2a-b)/(2a+b), где a — боковая сторона, b — основание. Подставим известные величины и получим для r² = (b²/4)*(2a-b)/(2a+b) или 4 = 9* (2a-6)/(2a+6) или 4= 9*(a-3)/(a+3). Отсюда а = 7,8.

Формула радиуса описанной вокруг равнобедренного треугольника окружности:

R= a²/√(4a²-b²). Подставив известные значения, имеем: R= a²/√(4a²-b²) = 60,84/√(4*60,84-36) = 4,225см

формула радиуса вписанной в равнобедренный треугольник окружности

poiskvstavropole.ru

Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник

Если в задача дана окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, в ее решении могут быть использованы свойства касательных и свойство биссектрисы треугольника.

Замечание.

Центр вписанной в треугольник окружности является точкой пересечения его биссектрис. Поскольку в равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, совпадает с медианой и высотой, то центр вписанной в равнобедренный треугольник окружности лежит на высоте и медиане, проведенных к основанию.

Рассмотрим две задачи на вписанную в равнобедренный треугольник окружность.

Задача 1.

Боковая сторона равнобедренного треугольника делится точкой касания вписанной окружности в отношении 8:9, считая от вершины угла при основании треугольника. Найти площадь треугольника, если радиус вписанной окружности равен 16 см.

 

Дано: ∆ ABC, AC=BC,

окружность (O, r) — вписанная,

F, K, M,  — точки касания со сторонами AB, BC, AC,

AM:MC=8:9, r=16 см.

Найти:

    \[{S_{\Delta ABC}}\]

Решение:

1) Пусть k — коэффициент пропорциональности (k>0). Тогда AM=8k см, MC=9k см.

2) По свойству касательных, проведенных из одной точки,

AF=AM=8k см, CK=MC=9k см.

Так как AC=BC, то BK=AM и BF=BK=8k см.

3) Центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис треугольника.

Так как ∆ ABC — равнобедренный с основанием AB, то CF — высота, медиана и биссектриса ∆ ABC.

4) Рассмотрим треугольник AFC.

∠AFC=90, AF=8k см, AC=AM+MC=17k см.

По свойству биссектрисы треугольника:

    \[\frac{{AC}}{{CO}} = \frac{{AF}}{{OF}}.\]

OF=r.  Пусть CO=x см, тогда

    \[\frac{{17k}}{x} = \frac{{8k}}{{16}}\]

    \[x = \frac{{17k \cdot 16}}{{8k}}\]

    \[\underline {x = 34} \]

CO=34 см, CF=CO+OF=34+16=50 см.

По теореме Пифагора:

    \[A{C^2} = A{F^2} + C{F^2}\]

    \[{(17k)^2} = {(8k)^2} + {50^2}\]

    \[225{k^2} = {50^2}\]

    \[15k = 50\]

    \[k = \frac{{50}}{{15}} = \frac{{10}}{3}.\]

Таким образом,

    \[AF = 8 \cdot \frac{{10}}{3} = \frac{{80}}{3}cm.\]

    \[5){S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CF = AF \cdot CF,\]

    \[5){S_{\Delta ABC}} = \frac{{80}}{3} \cdot 50 = \frac{{4000}}{3} = 1333\frac{1}{3}(c{m^2}).\]

Ответ: 1333 1/3 кв.см.

Задача 2.

Центр окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, делит высоту, проведенную к основанию, в отношении 5:4. Найти периметр треугольника, если боковая сторона меньше основания на 15 см.

вписанная в равнобедренный треугольник окружность Дано: ∆ ABC, AC=BC,

окружность (O, r) — вписанная,

CF — высота, CO:OF=5:4, AC<AB на 15 см.

Найти:

    \[{P_{\Delta ABC}}\]

Решение:

центр вписанной в равнобедренный треугольник окружности1) Рассмотрим ∆ ACF — прямоугольный (так как CF — высота треугольника по условию).

Центр вписанной в треугольник окружности есть точка пересечения его биссектрис.

По свойству биссектрисы треугольника,

    \[\frac{{AC}}{{CO}} = \frac{{AF}}{{OF}}\]

или

    \[\frac{{AC}}{{AF}} = \frac{{CO}}{{OF}} = \frac{5}{4}.\]

Пусть k — коэффициент пропорциональности, тогда AC=5k см, AF=4k см, AB=2AF=8k см.

По условию, AC<AB на 15 см. Поэтому 8k-5k=15, 3k=15, k=5.

Следовательно, AC=BC=5∙5=25 см, AB=8∙5=40 см.

    \[2){P_{\Delta ABC}} = AB + AC + BC = 40 + 25 + 25 = 90(cm).\]

Ответ: 90 см.

 

www.uznateshe.ru