Решение неравенств методом интервалов. Метод интервалов как решать


Метод интервалов

 

Метод интервалов — это специальный алгоритм, предназначенный для решения сложных неравенств вида f(x) > 0. Алгоритм состоит из 5 шагов:

 

  1. Решить уравнение f(x) = 0. Таким образом, вместо неравенства получаем уравнение, которое решается намного проще;
  2. Отметить все полученные корни на координатной прямой. Таким образом, прямая разделится на несколько интервалов;
  3. Найти кратность корней. Если корни четной кратности, то над корнем рисуем петлю. (Корень считается кратным, если существует четное количество одинаковых решений)
  4. Выяснить знак (плюс или минус) функции f(x) на самом правом интервале. Для этого достаточно подставить в f(x) любое число, которое будет правее всех отмеченных корней;
  5. Отметить знаки на остальных интервалах, чередуя их.

После этого останется лишь выписать интервалы, которые нас интересуют. Они отмечены знаком «+», если неравенство имело вид f(x) > 0, или знаком «−», если неравенство имеет вид f(x) < 0.

В случае с нестрогими неравенствами( ≤ , ≥) необходимо включить в интервалы точки, которые являются решением уравнения f(x) = 0;

 

Пример 1:

 

Решить неравенство:

(x - 2)(x + 7) < 0

Работаем по методу интервалов.

Шаг 1: заменяем неравенство уравнением и решаем его:

(x - 2)(x + 7) = 0

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

x - 2 = 0 => x = 2

x + 7 = 0 => x = -7

Получили два корня.

 

Шаг 2: отмечаем эти корни на координатной прямой. Имеем:

 

 

Шаг 3: находим знак функции на самом правом интервале (правее отмеченной точки x = 2). Для этого надо взять любое число, которое больше числа x = 2. Например, возьмем x = 3 (но никто не запрещает взять x = 4, x = 10 и даже x = 10 000). 

Получим:

f(x) = (x - 2)(x + 7)

x = 3

f(3)=(3 - 2)(3 + 7) = 1*10 = 10

Получаем, что f(3) = 10 > 0 (10 – это положительное число), поэтому в самом правом интервале ставим знак плюс.

 

Шаг 4:  нужно отметить знаки на остальных интервалах. Помним, что при переходе через каждый корень знак должен меняться. Например, справа от корня x = 2 стоит плюс (мы убедились в этом на предыдущем шаге), поэтому слева обязан стоять минус. Этот минус распространяется на весь интервал (−7; 2), поэтому справа от корня x = −7 стоит минус. Следовательно, слева от корня x = −7 стоит плюс. Осталось отметить эти знаки на координатной оси. 

 

 

Вернемся к исходному неравенству, которое имело вид:

(x - 2)(x + 7) < 0

Итак, функция должна быть меньше нуля. Значит, нас интересует знак минус, который возникает лишь на одном интервале: (−7; 2). Это и будет ответ.

 

Пример 2:

 

Решить неравенство:

(9x2 - 6x + 1)(x - 2) ≥ 0

Решение: 

Для начала необходимо найти корни уравнения 

(9x2 - 6x + 1)(x - 2) = 0

Свернем первую скобку, получим:

(3x - 1)2(x - 2) = 0

Отсюда:

x - 2 = 0; (3x - 1)2 = 0

Решив эти уравнения получим:

x1 = 2; x2 =  \frac{1}{3} ; x3=  \frac{1}{3} ;

Нанесем точки на числовую прямую:

Т.к. x2 и x3 – кратные корни, то на прямой будет одна точка и над ней “петля”.

Возьмем любое число меньшее самой левой точки   \frac{1}{3}  и подставим в исходное неравенство. Возьмем число -1.

(9*(-1)2 - 6*(-1) + 1)(-1 - 2) = -12

Т.к. решение уравнения при x = -1 отрицательное (-12), то на графике в крайнем левом интервале пишем -, и далее чередуя знак записываем его в следующие интервалы:

Далее выбираем отрицательные интервалы, т.к. знак нашего неравенства ≤.

Не забываем включать решение уравнения (найденные X), т.к. наше неравенство нестрогое.

Ответ: { \frac{1}{3} } U [2;+∞)

 

Пример 3:

 

Решить неравенство:

(9x2 - 6x + 1)(x - 2) > 0

Все, чем данное неравенство отличается от предыдущего – вместо нестрогого неравенства (≥) стоит строгое (>). Как ни странно, решение данного неравенства будет иным.

Найдем корни уравнения (9x2 - 6x + 1)(x - 2) ≠ 0 (знак ≠ означает, что найденные корни не могут быть решениями нашего неравенства, т.к. оно строгое). Проделав все этапы, что и в предыдущем примере получим:

x1= 2; x2,3 = \frac{1}{3} ;

Вынесем наши решения на числовую прямую (обратите внимания, что данные точки не включены, т.к. неравенство строгое, т.е. левая часть неравенства не равна нулю)

Обратите внимание, что корни x2 и x3 совпадают, корень “ \frac{1}{3} ” является кратным. Соответственно, в данной точке на числовой прямой рисуем петлю.

Возьмем число -1.

(9*(-1)2 - 6*(-1) + 1)(-1 - 2) = -12

Т.к. решение уравнения при x = -1 отрицательное (-12), то на графике в крайнем левом интервале пишем -, и далее чередуя знак записываем его в следующие интервалы:

Далее выбираем отрицательные интервалы, т.к. знак нашего неравенства <.

Найденные корни не включаем в ответ.

Ответ: (2;+∞).

ya-znau.ru

Неравенства методом интервалов

Рассмотрим, как решать неравенства методом интервалов, на конкретных примерах.

    \[1)(2x - 14)(5x + 25) \ge 0\]

Используем алгоритм метода интервалов. Приравниваем к нулю левую часть:

    \[(2x - 14)(5x + 25) = 0\]

    \[2x - 14 = 0,x = 7\]

    \[5x + 25 = 0,x = - 5.\]

Полученные точки отмечаем на числовой прямой:

как решать неравенства методом интервалов

Для проверки знака берем 0 (желательно на числовой прямой отметить взятую точку, чтобы потом не забыть, куда ставить знак). Подставляем 0 в последнее неравенство: (2∙0-14)(5∙0+25)= -14∙25, то есть (-)∙(+)= -. Таким образом, в промежуток, из которого взяли нуль, ставим знак «-«, остальные знаки чередуем в шахматном порядке. Поскольку решаем неравенство ≥0, выбираем промежутки со знаком «+» и записываем ответ.

Ответ:

    \[x \in \left( { - \infty ; - 5} \right] \cup \left[ {7;\infty } \right).\]

    \[2)\frac{{(3x - 2)(4x - 32)}}{{5x + 30}} \le 0.\]

Приравниваем к нулю левую часть:

    \[\frac{{(3x - 2)(4x-32)}}{{5x + 30}} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}(3x - 2)(4x-32) = 0,\\5x + 30 \ne 0,\end{array} \right.\]

    \[\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{2}{3},x = 8,\\x \ne - 6.\end{array} \right.\]

Полученные точки отмечаем на числовой прямой:

Для проверки знака берем 0 и подставляем его в последнее неравенство. По знакам получаем:

    \[\frac{{( - ) \cdot ( - )}}{ + } = + .\]

В промежуток, которому принадлежит 0, ставим «+», остальные знаки расставляем в шахматном порядке. Поскольку решаем неравенство ≤0, в ответ выбираем промежутки со знаком «-«. (Не забываем, когда точки закрашенные, а когда — выколотые. Те точки, в которых знаменатель обращается в нуль, выколотые всегда).

Ответ:

    \[x \in \left( { - \infty ; - 6} \right) \cup \left[ {\frac{2}{3};8} \right].\]

    \[3)\frac{{{x^2} - 4x - 12}}{{{x^2} + 3x - 18}} \ge 0.\]

Приравниваем к нулю левую часть:

    \[\frac{{{x^2} - 4x - 12}}{{{x^2} + 3x - 18}} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 4x - 12 = 0,\\{x^2} + 3x - 18 \ne 0.\end{array} \right.\]

По теореме, обратной теореме Виета

    \[\left\{ \begin{array}{l}x = 6,x = - 2,\\x = - 6,x = 3.\end{array} \right.\]

Полученные точки отмечаем на числовой прямой: метод интервалов, пример

Для определения знака берем 0 и подставляем его в последнее неравенство. Получает (-)/(-)=(+). Остальные знаки расставляем в шахматном порядке. Поскольку решаем неравенство ≥0, выбираем промежутки со знаком «+» и записываем ответ.

Ответ:

    \[x \in \left( { - \infty ; - 6} \right) \cup \left[ { - 2;3} \right) \cup \left[ {6;\infty } \right).\]

    \[4)\frac{{2{x^2} - 9x + 25}}{{9 - x}} < 2 - x.\]

Переносим все слагаемые в левую часть, приводим к наименьшему общему знаменателю и упрощаем: 

    \[\frac{{2{x^2} - 9x + {{25}^{\backslash 1}}}}{{9 - x}} - {2^{\backslash (9 - x)}} + {x^{\backslash (9 - x)}} < 0\]

    \[\frac{{2{x^2} - 9x + 25 - 2(9 - x) + x(9 - x)}}{{9 - x}} < 0\]

    \[\frac{{2{x^2} - 9x + 25 - 18 + 2x + 9x - {x^2}}}{{9 - x}} < 0\]

    \[\frac{{{x^2} + 2x + 7}}{{9 - x}} < 0.\]

После упрощения решаем неравенство методом интервалов.

Приравниваем к нулю левую часть:

    \[\frac{{{x^2} + 2x + 7}}{{9 - x}} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 2x + 7 = 0,\\9 - x \ne 0,\end{array} \right,\]

    \[\left\{ \begin{array}{l}D < 0,\emptyset \\x \ne 9.\end{array} \right.\]

Точек, в которых числитель обращается в нуль, нет. На числовой прямой отмечаем только одну точку:

Для проверки берем нуль. Подставляя его в последнее неравенство, получаем «+». На другом интервале — «-«. Нам нужен интервал с «-«.

Ответ:

    \[x \in \left( {9;\infty } \right).\]

Как решать более сложные неравенства методом интервалов, рассмотрим в следующий раз.

www.uznateshe.ru

Метод интервалов

Метод интервалов — универсальный метод решения неравенств. С его помощью можно решить неравенства самого разного вида. Рассмотрим алгоритм метода интервалов, а затем перейдем к примерам решения неравенств этим методом.

Алгоритм решения неравенств методом интервалов.

Прежде чем применить метод интервалов для решении неравенства, необходимо все дроби привести к наименьшему общему знаменателю и все слагаемые перенести в левую часть, чтобы справа остался нуль. Для начала рассмотрим алгоритм решения неравенств вида

    \[\frac{{(x - {x_1})(x - {x_2})...(x - {x_k})}}{{(x - {x_l})(x - {x_n})...(x - {x_s})}} \ge 0\]

1. Приравниваем к нулю левую часть:

    \[\frac{{(x - {x_1})(x - {x_2})...(x - {x_k})}}{{(x - {x_l})(x - {x_n})...(x - {x_s})}} = 0\]

(Таким образом мы находим нули функции

    \[y = \frac{{(x - {x_1})(x - {x_2})...(x - {x_k})}}{{(x - {x_l})(x - {x_n})...(x - {x_s})}}\]

а также ее область определения).

2.Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, поэтому это уравнение равносильно системе:

    \[\frac{{(x - {x_1})(x - {x_2})...(x - {x_k})}}{{(x - {x_l})(x - {x_n})...(x - {x_s})}} = 0 \Leftrightarrow \]

    \[\left\{ \begin{array}{l}(x - {x_1})(x - {x_2})...(x - {x_k}) = 0;\\(x - {x_l})(x - {x_n})...(x - {x_s}) \ne 0.\end{array} \right.\]

3. Полученные точки отмечаем на числовой прямой с учетом области определения функции. Точки разбивают числовую прямую на промежутки, в каждом из которых рассматриваемая функция имеет определенный знак. Выбираем любое число из любого промежутка (удобнее всего брать нуль, если он не входит в отмеченные точки), и подставляем это число в последнее неравенство (то есть в упрощенное неравенство, в котором все слагаемые стоят в левой части и дроби приведены к наименьшему общему знаменателю). В результате определяем знак на выбранном промежутке. Остальные знаки расставляем в шахматном порядке.

4. «Петля»

1)Если есть кратный корень четной степени, то в нем — «петля»:

    \[{(x - {x_h})^{2n}} \ge 0, \Rightarrow x = {x_h} - \cap \]

2)Если дискриминант равен нулю, то в соответствующем корне x=-b/2a — «петля».

3) Если один и тот же корень встречается четное число раз, то в нем — «петля»:

    \[\frac{{(x - {x_1})(x - {x_2})}}{{(x - {x_2})(x - {x_3})}} \ge 0, \Rightarrow x = {x_2} - \cap \]

так как корень x2 встречается четное количество раз (два раза).

5. Выбираем промежутки с нужным знаком: если в неравенстве знак > или ≥, берем промежутки с «+»; если < или ≤ — с «-«. Точки, в которых знаменатель обращается в нуль, всегда выколотые.  В остальных случаях запомнить, выколотая точка или закрашенная, можно с помощью ассоциации.

Замечание

Отдельно стоящие закрашенные точки включаем в решение:

метод интервалов

    \[x \in \left( { - \infty ;{x_1}} \right] \cup \left\{ {{x_2};{x_5}} \right\} \cup ({x_3};{x_4}) \cup ({x_6};\infty ).\]

(Знаки в «петлях» — «виртуальные». В этих точках функция обращается нуль либо не определена. «Петля» служит только для сохранения  порядка чередования знаков).

Далее рассмотрим различные примеры решения неравенств с помощью этого метода.

www.uznateshe.ru

Метод интервалов. Примеры

Продолжаем рассматривать метод интервалов. Примеры, в которых в ходе решения квадратного уравнения получаем дискриминант, равный нулю — следующие.

    \[1){x^2} - 6x + 9 \ge 0.\]

Используем алгоритм метода интервалов. Приравниваем к нулю левую часть:

    \[{x^2} - 6x + 9 = 0.\]

Ищем дискриминант:

    \[D = {b^2} - 4ac = {( - 6)^2} - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 0.\]

Поскольку дискриминант равен нулю, квадратное уравнение имеет один корень:

    \[x = \frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{6}{{2 \cdot 1}} = 3.\]

В точке x=3 на числовой прямой — «петля»:

Неравенство нестрогое, точка — закрашенная. Знак неравенства — больше либо равно, поэтому нам нужны промежутки с «+». Ответ:

    \[x \in ( - \infty ;\infty ).\]

    \[2){x^2} - 6x + 9 > 0.\]

От предыдущего неравенства это отличается только тем, что является строгим. Соответственно, точка x=3 — выколотая, и в ответ ее не включаем:

Ответ:

    \[\begin{array}{l}x \in ( - \infty ;3) \cup (3;\infty ).\\\end{array}\]

    \[3){x^2} - 6x + 9 \le 0.\]

Поскольку знак неравенства — меньше либо равно, нам нужны промежутки с «-»  а их нет. Отдельно стоящие закрашенные точки включаем в ответ. Здесь такая точка есть —  x=3 (напоминаю, знак в петле — «виртуальный», на самом деле при x=3 выражение, стоящее в правой части,  равно нулю, а нуль не является ни положительным, ни отрицательным числом).

Ответ:

    \[\left\{ 3 \right\}.\]

    \[4){x^2} - 6x + 9 < 0.\]

Здесь нет ни одной точки удовлетворяющей условию неравенства.

Ответ:

    \[\emptyset .\]

    \[5)\frac{{{x^2} - 10x + 25}}{{{x^2} - 3x - 18}} \le 0.\]

Приравниваем к нулю левую часть. Получаем:

    \[\frac{{{x^2} - 10x + 25}}{{{x^2} - 3x - 18}} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 5;\\x \ne - 3;x \ne 6.\end{array} \right.\]

Поскольку в ходе решения уравнения x²-10x+25=0 получили дискриминант, равный нулю, в соответствующей точке x=5  — «петля». Отмечаем полученные точки на числовой прямой:

metod intervalov

Знак неравенства — меньше либо равно, поэтому выбираем промежутки со знаком «-«. Точка х=5 — закрашенная, поэтому ее включаем в ответ (то есть разрывать промежуток от -3 до 6 не нужно).

Ответ: х∈(-3;6).

    \[6)\frac{{{x^2} - 10x + 25}}{{{x^2} - 3x - 18}} < 0.\]

От предыдущего примера данный отличается только тем, что неравенство — строгое. Соответственно, все точки выколотые и в ответ х=5 уже не входит (промежуток от -3 до 6 разбивается на два).

примеры решения метода интервалов решени

Ответ: х∈(-3;5)U(5;6).

    \[7)\frac{{{x^2} - 10x + 25}}{{{x^2} - 3x - 18}} \ge 0.\]

Здесь выбираем промежутки с «+». Отдельно стоящую закрашенную точку также включаем в ответ:

метод интервалов в решении неравенств, примеры

Ответ:

    \[x \in ( - \infty ; - 3) \cup \left\{ 5 \right\} \cup (6;\infty ).\]

    \[8)\frac{{{x^2} - 10x + 25}}{{{x^2} - 3x - 18}} > 0.\]

Поскольку неравенство — строгое, ни одну из точек в ответ не включаем:

решить неравенство методом интервалов

Ответ:

    \[x \in ( - \infty ; - 3) \cup (6;\infty ).\]

Следует заметить, что если бы мы решали квадратные уравнения, в которых дискриминант равен нулю, используя теорему Виета, то получили бы два одинаковых корня (то есть один и тот же корень встречается четное число раз). Если бы свернули квадратный трехчлен по формулам квадрата суммы или квадрата разности, то получили бы кратный корень четной степени. То есть, при любом подходе пришли бы к «петле».

www.uznateshe.ru

Решение методом интервалов

Теперь рассмотрим решение методом интервалов более сложных неравенств. Начнем с неравенств, содержащих кратные корни четных степеней.

    \[1){(x - 1)^2}{(x + 2)^3}{(x - 5)^4}{(x - 10)^5} > 0.\]

Используем алгоритм решения неравенств методом интервалов. Приравниваем к нулю левую часть:

    \[{(x - 1)^2}{(x + 2)^3}{(x - 5)^4}{(x - 10)^5} = 0\]

    \[{(x - 1)^2} = 0;{(x + 2)^3} = 0;{(x - 5)^4} = 0;{(x - 10)^5} = 0\]

    \[x = 1;x = - 2;x = 5;x = 10.\]

Полученные точки отмечаем на числовой прямой. Неравенство строгое, все точки — выколотые. Корни х=1 и х=5 — кратные корни четной степени, поэтому в них — «петля»:

решение неравенств методом интервалов, кратные корни

Для проверки знака берем нуль и подставляем его в последнее неравенство. Получаем (+)∙(+)∙(+)∙(-), итого (-). Остальные знаки расставляем в шахматном порядке. Нам нужен знак «+», соответственно, выбираем промежутки с «+».

Ответ:

    \[x \in \left( { - \infty ; - 2} \right) \cup \left( {10;\infty } \right).\]

Рассмотрим еще три варианта решения этого же примера с разными знаками неравенства.

    \[2){(x - 1)^2}{(x + 2)^3}{(x - 5)^4}{(x - 10)^5} \ge 0.\]

В отличие от предыдущего примера, данное неравенство нестрогое, поэтому точки в этом случае — закрашенные:

как решать неравенства методом интервалов

Отдельно стоящие закрашенные точки включаем в решение!

Ответ:

    \[x \in \left( { - \infty ; - 2} \right] \cup \left\{ {1;5} \right\} \cup \left[ {10;\infty } \right).\]

    \[3){(x - 1)^2}{(x + 2)^3}{(x - 5)^4}{(x - 10)^5} < 0.\]

Неравенство строгое, точки — выколотые. В этом неравенстве нам нужен знак «-«:

метод интервалов для решения неравенств

Ответ:

    \[x \in \left( { - 2;1} \right) \cup \left( {1;5} \right) \cup \left( {5;10} \right).\]

 

    \[4){(x - 1)^2}{(x + 2)^3}{(x - 5)^4}{(x - 10)^5} \le 0.\]

От предыдущего неравенства это отличается только тем, что является нестрогим. Соответственно, точки в нем — закрашенные, и они входят в решение:

решить неравенство методом интервалов

Ответ:

    \[x \in \left[ { - 2;10} \right].\]

    \[5)\frac{{(x + 3){{(x - 2)}^6}}}{{{{(x + 1)}^7}}} \le 0.\]

Приравниваем к нулю левую часть:

    \[\frac{{(x + 3){{(x - 2)}^6}}}{{{{(x + 1)}^7}}} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}(x + 3){(x - 2)^6} = 0,\\{(x + 1)^7} \ne 0,\end{array} \right.\]

 

    \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 3;x = 2,\\x \ne - 1.\end{array} \right.\]

Полученные точки отмечаем на числовой прямой. Неравенство нестрогое, точки — закрашенные. Только точка, в которой знаменатель обращается в нуль, выколотая (всегда!).

решение методом интервалов, неравенства с кратными корнями

Для проверки знака берем нуль. Подставляем его в последнее неравенство. Получаем

    \[\frac{{( + ) \cdot ( + )}}{{( + )}}\]

в итоге — «+». Нам нужен «-«, заштриховываем соответствующий промежуток. Не забываем включить в ответ отдельно стоящую закрашенную точку.

Ответ:

    \[x \in \left[ { - 3; - 1} \right) \cup \left\{ 2 \right\}.\]

www.uznateshe.ru

Метод интервалов. Как решать неравенства с помощью метода интервалов

Метод интервалов применяется при решении огромного количества самых разных неравенств – квадратных,  дробно-рациональных, показательных, логарифмических…

Примеры неравенств, которые удобно решать методом интервалов:

\((2x-5)(x+3)≤0\)

\(\frac{-14}{x^2+2x-15}\)\(≤0\)

\(x^2<361\)

\(\frac{x^2-6x+8}{x-1}\)\(-\)\(\frac{x-4}{x^2-3x+2}\)\(≤0\)

\(\frac{x-2}{3-x}\)\(≤0\)

\(\frac{2}{5^x-1}\)\(+\)\(\frac{5^x-2}{5^x-3}\)\(≥2\)

\(x^2 (-x^2-64)≤64(-x^2-64)\)

\(\frac{5\log^2_{2}⁡x-100}{\log^2_{2}⁡x-25}\)\(≥4\)

Как решать неравенства методом интервалов (алгоритм с примерами)

  1. Равносильными преобразованиями приведите неравенство к виду: \(\frac{(x-x_1 )^n (x-x_2 )^k…}{(x-x_3 )^l (x-x_4 )^m…}\)\(∨0\) или \((x-x_1 )^n (x-x_2 )^k…∨0\) (\(∨\) - любой знак сравнения; \(n,k,l,m\) – любые натуральные числа большие нуля, в том числе и \(1\))

    Пример:

    \((2x+5)(x-2)>5\) \(2x^2-4x+5x-10-5>0\) \(2x^2+x-15>0\) \(D=1-4 \cdot 2 \cdot (-15)=121=11^2\) \(x_1=\frac{-1-11}{2 \cdot 2}=-3;\)      \(x_2=\frac{-1+11}{2 \cdot 2}=\frac{5}{2}\) \(2(x-\frac{5}{2})(x+3)>0\)          \(|:2\) \((x-\frac{5}{2})(x+3)>0\)                

    Отметим, что здесь применено разложение на множители квадратного трехчлена.

  2. Найдите корни числителя и знаменателя (т.е. такие значения икса, которые превратят их в ноль).

    \(x=\frac{5}{2}; x=-3\)

  3. Нанесите найденные значения на числовую ось.

    Если неравенство строгое, то корни числителя обозначьте «выколотой» точкой, если нет - закрашенной. Корни знаменателя «выколоты» всегда, независимо от строгости знака сравнения. 

    метод интервалов (3).png

  4. Расставьте знаки на интервалах числовой оси. Напомню правила расстановки знаков:

    - В крайнем правом интервале ставим знак плюс;

    - Дальше двигаемся влево;

    - Переходя через число:

    - меняем знак, если скобка с этим числом была в нечетной степени (1, 3, 5…)

     

    - не меняем знак, если скобка с этим числом была в четной степени (2, 4, 6…)

     

    метод интервалов (2).pngметод интервалов(3).png

  5. Выделите нужные промежутки. Если есть отдельно стоящий корень, то отметьте его флажком, чтоб не забыть внести этот корень в ответ (такая ситуация рассмотрена в одном из примеров ниже).

    метод интервалов (4).png

  6. Запишите в ответ выделенные промежутки и корни, отмеченные флажком (если они есть).

    Ответ: \((-∞;-3)∪(\frac{5}{2};∞)\)

Пример. (задание из ОГЭ)  Решите неравенство методом интервалов   \((x-7)^2< \sqrt{11}(x-7)\)Решение:

\((x-7)^2< \sqrt{11}(x-7)\)

Чтобы в неравенстве справа был \(0\), перенесем выражение из правой части в левую.

\((x-7)^2- \sqrt{11}(x-7)<0\)

Вынесем за скобку \((x-7)\).

\((x-7)(x-7-\sqrt{11})<0\)

Находим корни.

\(x=7;\)        \(x=7+\sqrt11\)

Расставляем на числовой оси корни, затем знаки и закрашиваем нужные интервалы

метод интервалов.png

Записываем ответ

Ответ: \((7;7+\sqrt{11})\)

Пример. Решите неравенство методом интервалов    \(\frac{(4-x)^3 (x+6)(6-x)^4}{(x+7,5)}\)\(≥0\)Решение:

\(\frac{(4-x)^3 (x+6)(6-x)^4}{(x+7,5)}\)\(≥0\)

Здесь на первый взгляд все кажется нормальным, а неравенство изначально приведенным к нужному виду. Но это не так – ведь в первой и третьей скобке числителя икс стоит со знаком минус.

Преобразовываем скобки, с учетом того, что четвертая степень - четная (т.е. уберет знак минус), а третья – нечетная (т.е. не уберет). \((4-x)^3=(-x+4)^3=(-(x-4))^3=-(x-4)^3\) \((6-x)^4=(-x+6)^4=(-(x-6))^4=(x-6)^4\) Вот так. Теперь возвращаем скобки «на место» уже преобразованными.

\(\frac{-(x-4)^3 (x+6)(x-6)^4}{(x+7,5)}\)\(≥0\)

Теперь все скобки выглядят как надо (первым идет иск без знака и только потом число). Но перед числителем появился минус. Убираем его, умножая неравенство на \(-1\), не забыв при этом перевернуть знак сравнения

\(\frac{(x-4)^3 (x+6)(x-6)^4}{(x+7,5)}\)\(≤0\)

Готово. Вот теперь неравенство выглядит как надо. Можно применять метод интервалов.

\(x=4;\) \(x=-6;\) \(x=6;\) \(x=-7,5\)

Расставим точки на оси, знаки и закрасим нужные промежутки.

метод интервалов(6).png

В промежутке от \(4\) до \(6\), знак не надо менять, потому что скобка \((x-6)\) в четной степени (см. пункт 4 алгоритма). Флажок будет напоминанием о том, что шестерка - тоже решение неравенства. Запишем ответ.

Ответ: \((-∞;7,5]∪[-6;4]∪\left\{6\right\}\)

Пример. (Задание из ОГЭ) Решите неравенство методом интервалов    \(x^2 (-x^2-64)≤64(-x^2-64)\)Решение:

\(x^2 (-x^2-64)≤64(-x^2-64)\)

Слева и справа есть одинаковые выражения – это явно не случайно. Первое желание – поделить на \(-x^2-64\), но это ошибка, т.к. есть шанс потерять корень. Вместо этого перенесем \(64(-x^2-64)\) в левую сторону

\(x^2 (-x^2-64)-64(-x^2-64)≤0\)

Вынесем за скобку общий множитель.

\((-x^2-64)(x^2-64)≤0\)

Вынесем минус в первой скобки и разложим на множители вторую

\(-(x^2+64)(x-8)(x+8)≤0\)

Обратите внимание: \(x^2\) либо равно нулю, либо больше нуля. Значит, \(x^2+64\) – однозначно положительно при любом значении икса, то есть это выражение никак не влияет на знак левой части. Поэтому можно смело делить обе части неравенства на это выражение. Поделим неравенство так же на \(-1\) , чтобы избавиться от минуса.

\((x-8)(x+8)≥0\)

Теперь можно применять метод интервалов

\(x=8;\)   \(x=-8\)

Запишем ответ

Ответ: \((-∞;-8]∪[8;∞)\)

Смотрите также:Квадратные неравенстваДробно-рациональные неравенства

Скачать статью

cos-cos.ru

Решение неравенств методом интервалов

Автор Сергей

Суббота, Июль 14, 2012

Статья о решении неравенств методом интерваловСтатья посвящена разбору примеров решения неравенств методом интервалов. При том, что этот метод решения неравенств достаточно универсален, важно помнить, что не всегда применение данного метода оправдано с точки зрения объема вычислений. Иногда бывает удобнее воспользоваться некоторыми другими методами решения неравенств. Все рассмотренные в статье неравенства взяты из реальных вариантов ЕГЭ по математике разных лет. Присутствует подробный видеоразбор одного из заданий.

 

Метод интервалов

Пусть заданное неравенство имеет вид: \frac{f(x)}{g(x)}\bigvee 0. Для решения этого неравенства используется так называемый метод интервалов (метод промежутков), который состоит в следующем.

Во-первых, на числовую ось наносят точки x_1 ,\dots , x_n, разбивающие ее на промежутки, в которых выражение \frac{f(x)}{g(x)} определено и сохраняет знак («плюс» или «минус»). Такими точками могут быть корни уравнений f(x)=0 и g(x)=0. Соответствующие этим корням точки отмечают на числовой оси: закрашенными кружками — точки, удовлетворяющие заданному неравенству, а светлыми кружками — не удовлетворяющие ему.

Во-вторых, определяют и отмечают на числовой оси знак выражения \frac{f(x)}{g(x)} для значении x, принадлежащих каждому из полученных промежутков. Если функции f(x) и g(x) являются многочленами и не содержат множителей вида (x-a)^{2n}, где n\in N, то достаточно определить знак функции \frac{f(x)}{g(x)} в любом таком промежутке, а в остальных промежутках знаки «плюс» и «минус» будут чередоваться.

Если же в числителе или знаменателе дроби \frac{f(x)}{g(x)} имеется множитель вида (x-a)^{2n}, где n\in N, то непосредственной проверкой выясняют, удовлетворяет ли значение х = a заданному неравенству.

Изменение знаков удобно иллюстрировать с помощью волнообразной кривой (кривой знаков), проведенной через отмеченные точки и лежащей выше или ниже числовой оси в соответствии со знаком дроби \frac{f(x)}{g(x)} в рассматриваемом промежутке. Промежутки, которые содержат точки, удовлетворяющие данному неравенству, иногда покрывают штрихами. На ту же ось помещают и точки, соответствующие x=a. Заштрихованная область в совокупности с полученными точками будет являться ответом к неравенству.

yourtutor.info