Решение (корни) квадратного уравнения. Квадратное уравнение под корнем как решать


Решить уравнение с корнем онлайн решателем

Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Довольно часто в уравнениях встречается знак корня и многие ошибочно считают, что такие уравнения сложные в решении. Для таких уравнений в математике существует специальный термин, которым и именуют уравнения с корнем - иррациональные уравнения.

Главным отличием в решении уравнений с корнем от других уравнений, например, квадратных, логарифмических, линейных, является то, что они не имеют стандартного алгоритма решения. Поэтому чтобы решить иррациональное уравнение необходимо проанализировать исходные данные и выбрать более подходящий вариант решения.

решение уравнений с корнем

Так же читайте нашу статью "Решить уравнения онлайн решателем"

В большинстве случаев для решения данного рода уравнений используют метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень

Допустим, дано следующее уравнение:

\[\sqrt{(5x-16)}=x-2\]

Возводим обе части уравнения в квадрат:

\[\sqrt{(5х-16))}^2 =(x-2)^2\], откуда последовательно получаем:

\[5x-16=x^2-4х+4\]

\[x^2-4x+4-5x+16=0\]

\[x^2-9x+20=0\]

Получив квадратное уравнение, находим его корни:

\[x=(9\pm\sqrt{(81-4\cdot1\cdot20)\div(2\cdot1)}\]

\[x=(9\pm1)\div 2\]

Ответ: \[x1=4, x2=5\]

Если выполнить подстановку данных значений в уравнение, то получим верное равенство, что говорит о правильности полученных данных.

Где можно решить уравнение с корнями онлайн решателем?

Решить уравнение вы можете на нашем сайте pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать - это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте: pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.

pocketteacher.ru

Решение квадратных уравнений

6 июля 2011

Квадратные уравнения изучают в 8 классе, поэтому ничего сложного здесь нет. Умение решать их совершенно необходимо.

Квадратное уравнение — это уравнение вида ax2 + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, причем a ≠ 0.

Прежде, чем изучать конкретные методы решения, заметим, что все квадратные уравнения можно условно разделить на три класса:

  1. Не имеют корней;
  2. Имеют ровно один корень;
  3. Имеют два различных корня.

В этом состоит важное отличие квадратных уравнений от линейных, где корень всегда существует и единственен. Как определить, сколько корней имеет уравнение? Для этого существует замечательная вещь — дискриминант.

Дискриминант

Пусть дано квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0. Тогда дискриминант — это просто число D = b2 − 4ac.

Эту формулу надо знать наизусть. Откуда она берется — сейчас неважно. Важно другое: по знаку дискриминанта можно определить, сколько корней имеет квадратное уравнение. А именно:

  1. Если D < 0, корней нет;
  2. Если D = 0, есть ровно один корень;
  3. Если D > 0, корней будет два.

Обратите внимание: дискриминант указывает на количество корней, а вовсе не на их знаки, как почему-то многие считают. Взгляните на примеры — и сами все поймете:

Задача. Сколько корней имеют квадратные уравнения:

  1. x2 − 8x + 12 = 0;
  2. 5x2 + 3x + 7 = 0;
  3. x2 − 6x + 9 = 0.

Выпишем коэффициенты для первого уравнения и найдем дискриминант:a = 1, b = −8, c = 12;D = (−8)2 − 4 · 1 · 12 = 64 − 48 = 16

Итак, дискриминант положительный, поэтому уравнение имеет два различных корня. Аналогично разбираем второе уравнение:a = 5; b = 3; c = 7;D = 32 − 4 · 5 · 7 = 9 − 140 = −131.

Дискриминант отрицательный, корней нет. Осталось последнее уравнение:a = 1; b = −6; c = 9;D = (−6)2 − 4 · 1 · 9 = 36 − 36 = 0.

Дискриминант равен нулю — корень будет один.

Обратите внимание, что для каждого уравнения были выписаны коэффициенты. Да, это долго, да, это нудно — зато вы не перепутаете коэффициенты и не допустите глупых ошибок. Выбирайте сами: скорость или качество.

Кстати, если «набить руку», через некоторое время уже не потребуется выписывать все коэффициенты. Такие операции вы будете выполнять в голове. Большинство людей начинают делать так где-то после 50-70 решенных уравнений — в общем, не так и много.

Корни квадратного уравнения

Теперь перейдем, собственно, к решению. Если дискриминант D > 0, корни можно найти по формулам:

Формула корней квадратного уравненияОсновная формула корней квадратного уравнения

Когда D = 0, можно использовать любую из этих формул — получится одно и то же число, которое и будет ответом. Наконец, если D < 0, корней нет — ничего считать не надо.

Задача. Решить квадратные уравнения:

  1. x2 − 2x − 3 = 0;
  2. 15 − 2x − x2 = 0;
  3. x2 + 12x + 36 = 0.

Первое уравнение:x2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;D = (−2)2 − 4 · 1 · (−3) = 16.

D > 0 ⇒ уравнение имеет два корня. Найдем их:

Решение простого квадратного уравнения

Второе уравнение:15 − 2x − x2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;D = (−2)2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ уравнение снова имеет два корня. Найдем их

\[\begin{align} & {{x}_{1}}=\frac{2+\sqrt{64}}{2\cdot \left( -1 \right)}=-5; \\ & {{x}_{2}}=\frac{2-\sqrt{64}}{2\cdot \left( -1 \right)}=3. \\ \end{align}\]

Наконец, третье уравнение:x2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;D = 122 − 4 · 1 · 36 = 0.

D = 0 ⇒ уравнение имеет один корень. Можно использовать любую формулу. Например, первую:

\[x=\frac{-12+\sqrt{0}}{2\cdot 1}=-6\]

Как видно из примеров, все очень просто. Если знать формулы и уметь считать, проблем не будет. Чаще всего ошибки возникают при подстановке в формулу отрицательных коэффициентов. Здесь опять же поможет прием, описанный выше: смотрите на формулу буквально, расписывайте каждый шаг — и очень скоро избавитесь от ошибок.

Неполные квадратные уравнения

Бывает, что квадратное уравнение несколько отличается от того, что дано в определении. Например:

  1. x2 + 9x = 0;
  2. x2 − 16 = 0.

Несложно заметить, что в этих уравнениях отсутствует одно из слагаемых. Такие квадратные уравнения решаются даже легче, чем стандартные: в них даже не потребуется считать дискриминант. Итак, введем новое понятие:

Уравнение ax2 + bx + c = 0 называется неполным квадратным уравнением, если b = 0 или c = 0, т.е. коэффициент при переменной x или свободный элемент равен нулю.

Разумеется, возможен совсем тяжелый случай, когда оба этих коэффициента равны нулю: b = c = 0. В этом случае уравнение принимает вид ax2 = 0. Очевидно, такое уравнение имеет единственный корень: x = 0.

Рассмотрим остальные случаи. Пусть b = 0, тогда получим неполное квадратное уравнение вида ax2 + c = 0. Немного преобразуем его:

Решение неполного квадратного уравненияРешение неполного квадратного уравнения

Поскольку арифметический квадратный корень существует только из неотрицательного числа, последнее равенство имеет смысл исключительно при (−c/a) ≥ 0. Вывод:

  1. Если в неполном квадратном уравнении вида ax2 + c = 0 выполнено неравенство (−c/a) ≥ 0, корней будет два. Формула дана выше;
  2. Если же (−c/a) < 0, корней нет.

Как видите, дискриминант не потребовался — в неполных квадратных уравнениях вообще нет сложных вычислений. На самом деле даже необязательно помнить неравенство (−c/a) ≥ 0. Достаточно выразить величину x2 и посмотреть, что стоит с другой стороны от знака равенства. Если там положительное число — корней будет два. Если отрицательное — корней не будет вообще.

Теперь разберемся с уравнениями вида ax2 + bx = 0, в которых свободный элемент равен нулю. Тут все просто: корней всегда будет два. Достаточно разложить многочлен на множители:

Разложение уравнения на множителиВынесение общего множителя за скобку

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда находятся корни. В заключение разберем несколько таких уравнений:

Задача. Решить квадратные уравнения:

  1. x2 − 7x = 0;
  2. 5x2 + 30 = 0;
  3. 4x2 − 9 = 0.

x2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7.

5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = −30 ⇒ x2 = −6. Корней нет, т.к. квадрат не может быть равен отрицательному числу.

4x2 − 9 = 0 ⇒ 4x2 = 9 ⇒ x2 = 9/4 ⇒ x1 = 3/2 = 1,5; x2 = −1,5.

Смотрите также:

  1. Теорема Виета
  2. Следствия из теоремы Виета
  3. Стандартный вид числа
  4. Комбинаторика в задаче B6: легкий тест
  5. Задача C2: уравнение плоскости через определитель
  6. Задачи на проценты считаем проценты с помощью формулы

www.berdov.com

Корни квадратного уравнения

Основные формулы

Рассмотрим квадратное уравнение:(1)   .Корни квадратного уравнения (1) определяются по формулам:;   .Эти формулы можно объединить так:.Когда корни квадратного уравнения известны, то многочлен второй степени можно представить в виде произведения сомножителей (разложить на множители):.

Далее считаем, что – действительные числа.Рассмотрим дискриминант квадратного уравнения:.Если дискриминант положителен, , то квадратное уравнение (1) имеет два различных действительных корня:;   .Тогда разложение квадратного трехчлена на множители имеет вид:.Если дискриминант равен нулю, , то квадратное уравнение (1) имеет два кратных (равных) действительных корня:.Разложение на множители:.Если дискриминант отрицателен, , то квадратное уравнение (1) имеет два комплексно сопряженных корня:;.Здесь – мнимая единица, ; и – действительная и мнимая части корней:;   .Тогда.

Графическая интерпретация

Если построить график функции,который является параболой, то точки пересечения графика с осью будут корнями уравнения.При , график пересекает ось абсцисс (ось ) в двух точках.При , график касается оси абсцисс в одной точке.При , график не пересекает ось абсцисс.

Ниже приводятся примеры таких графиков.

Полезные формулы, связанные с квадратным уравнением

(f.1)   ;(f.2)   ;(f.3)   .

Вывод формулы для корней квадратного уравнения

Выполняем преобразования и применяем формулы (f.1) и (f.3):,где;   .

Итак, мы получили формулу для многочлена второй степени в виде:.Отсюда видно, что уравнениевыполняется при и .То есть и являются корнями квадратного уравнения.

Примеры определения корней квадратного уравнения

Пример 1

Найти корни квадратного уравнения:(1.1)   .

Решение

Запишем квадратное уравнение в общем виде:.Сравнивая с нашим уравнением (1.1), находим значения коэффициентов:.Находим дискриминант:.Поскольку дискриминант положителен, , то уравнение имеет два действительных корня:;;.

Отсюда получаем разложение квадратного трехчлена на множители:.

График функции   y = 2x 2 + 7x + 3   пересекает ось абсцисс в двух точках.

Построим график функции.График этой функции является параболой. Она пересевает ось абсцисс (ось ) в двух точках:   и   .Эти точки являются корнями исходного уравнения (1.1).

Ответ

;;.

Пример 2

Найти корни квадратного уравнения:(2.1)   .

Решение

Запишем квадратное уравнение в общем виде:.Сравнивая с исходным уравнением (2.1), находим значения коэффициентов:.Находим дискриминант:.Поскольку дискриминант равен нулю, , то уравнение имеет два кратных (равных) корня:;.

Тогда разложение трехчлена на множители имеет вид:.

График функции   y = x 2 – 4x + 4   касается оси абсцисс в одной точке.

Построим график функции.График этой функции является параболой. Она касается оси абсцисс (ось ) в одной точке:.Эта точка является корнем исходного уравнения (2.1). Поскольку этот корень входит в разложение на множители два раза:,то такой корень принято называть кратным. То есть считают, что имеется два равных корня:.

Ответ

;.

Пример 3

Найти корни квадратного уравнения:(3.1)   .

Решение

Запишем квадратное уравнение в общем виде:(1)   .Перепишем исходное уравнение (3.1):.Сравнивая с (1), находим значения коэффициентов:.Находим дискриминант:.Дискриминант отрицателен, . Поэтому действительных корней нет.

Можно найти комплексные корни:;;.

Тогда.

График функции не пересекает ось абсцисс. Действительных корней нет.

Построим график функции.График этой функции является параболой. Она не пересекает ось абсцисс (ось ). Поэтому действительных корней нет.

Ответ

Действительных корней нет. Корни комплексные:;;.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 19-04-2016

1cov-edu.ru

Решение (корни) квадратного уравнения

Квадратным уравнением называется уравнение вида ax² + bx + c = 0, где x - переменная, которая в уравнении присутствует в квадрате, a, b, c - некоторые числа, причём a ≠ 0.

Например, квадратным является уравнение

2x² - 3x + 1 = 0,

в котором a = 2, b = - 3, c = 1.

В квадратном уравнении ax² + bx + c = 0 коэффициент a называют первым коэффициентом, b - вторым коэффициентом, c - свободным членом.

Уравнения вида ax² + bx = 0,

где c =0,

ax² + c = 0,

где b =0, и

ax² = 0,

где a =0 и b =0,

называются неполными квадратными уравнениями.

Найти корни квадратного уравнения значит решить квадратное уравнение.

Для вычисления корней квадратного уравния служит выражение b² - 4ac, которое называется дискриминантом квадратного уравнения и обозначается буквой D.

Корни квадратного уравнения имеют следующие сферы применения:

- для разложении квадратного трёхлена на множители, что, в свою очередь, является приёмом упрощения выражений (например, сокращения дробей, вынесение за скобки общего знаменателя и т.д.) в частности, при нахождении пределов, производных и интегралов;

- для решения задач на соотношения параметров меняющегося объекта (корни квадратного уравнения, чаще всего один, являются обычно конечным решением).

График квадратичного трёхлена ax² + bx + c - левой части квадратного уравнения - представляет собой параболу, ось симметрии которой параллельна оси 0y. Число точек пересечения параболы с осью 0x определяет число корней квадратного уравнения. Если точек пересечения две, то квадратное уравнение имеет два действительных корня, если точка пересечения одна, то квадратное уравнение имеет один действительный корень, если парабола не пересекает ось 0x, то квадратное уравнение не имеет действительных корней. На рисунке ниже изображены три упомянутых случая.

Как видно на рисунке, красная парабола пересекает ось 0x в двух точках, зелёная - в одной точке, а жёлтая парабола не имеет точек пересечения с осью 0x.

1. Если дискриминант больше нуля (), то квадратное уравнение имеет два различных действительных корня.

Они вычисляются по формулам:

и

.

Часто пишется так: .

2. Если дискриминант равен нулю (), то квадратное уравнение имеет только один действительный корень, или, что то же самое - два равных действительных корня, которые равны .

3. Если дискриминант меньше нуля (), то квадратное уравнение не имеет действительных корней, а имеет комплексные корни, но нахождение комплексных корней в этой статье рассматривать не будем. В общем случае правильным решением является констатация того, что квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Пример 1. Определить, сколько действительных корней имеет квадратное уравнение:

.

Решение. Найдём дискриминант:

.

Дискриминант больше нуля, следовательно, квадратное уравнение имеет два действительных корня.

Путём преобразования в квадратное уравнение следует решать и дробные уравнения, в которых хотя бы одно из слагаемых - дробь, в знаменателе которой присутствует неизвестное, например, . О том, как это делается - в материале Решение дробных уравнений с преобразованием в квадратное уравнение.

Проверить решение можно с помощью онлайн калькулятора квадратных уравнений.

Пример 2. Определить, сколько действительных корней имеет квадратное уравнение:

.

Решение. Найдём дискриминант:

.

Дискриминант равен нулю, следовательно, квадратное уравнение имеет один действительный корень.

Пример 3. Определить, сколько действительных корней имеет квадратное уравнение:

.

Решение. Найдём дискриминант:

.

Дискриминант меньше нуля, следовательно, квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Проверить решение можно с помощью онлайн калькулятора квадратных уравнений.

Находить корни квадратного уравнения требуется при решении многих задач высшей математики, например, при нахождении пределов, интегралов, исследовании функций на возрастание и убывание и других.

Пример 4. Найти корни квадратного уравнения:

.

В примере 1 нашли дискриминант этого уравнения:

,

Решение квадратного уравнения найдём по формуле для корней:

Проверить решение можно с помощью онлайн калькулятора квадратных уравнений.

Корни приведённого квадратного уравнения

Формула корней приведённого уравнения имеет вид:

.

Существуют формулы, связывающие корни квадратного уравнения с его коэффициентами. Они впервые были получены французским математиком Ф.Виетом.

Теорема Виета. Если квадратное уравнение ax² + bx + c = 0 имеет действительные корни, то их сумма равна - b/a, а произведение равно с/a:

Следствие. Если приведённое квадратное уравнение x² + px + q = 0 имеет действительные корни и , то

Пояснение формул: сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Следовательно, теорему Виета можно применять и для поиска корней приведённого квадратного уравнения.

Если известны корни квадратного уравнения, то трёхчлен, представляющий собой левую часть уравнения, можно разложить на множители по следующей формуле:

.

Этот приём часто используется для упрощения выражений, особенно сокращения дробей.

Пример 9. Упростить выражение:

.

Решение. Числитель данной дроби можем рассматривать как квадратный трёхчлен в отношении x и разложить его на множители, предварительно найдя его корни. Найдём дискриминант квадратного уравнения:

.

Корни квадратного уравнения будут следующими:

.

Разложим квадратный многочлен на множители:

.

Упростили выражение, проще не бывает:

.

Проверить решение можно с помощью онлайн калькулятора квадратных уравнений.

Пример 10. Упростить выражение:

.

Решение. И числитель, и знаменатель - квадратные трёхчлены. Значит, их можно разложить на множители, предварительно найдя корни соответствующих квадратных уравнений. Находим дискриминант первого квадратного уравнения:

.

Корни первого квадратного уравнения будут следующими:

.

Находим дискриминант второго квадратного уравнения:

.

Так как дискриминант равен нулю, второе квадратное уравнение имеет два совпадающих корня:

.

Подставим корни квадратных уравнений, разложим числитель и знаменатель на множители и получим:

.

Проверить решение можно с помощью онлайн калькулятора квадратных уравнений.

Упрощать выражения путём решения квадратных уравнений требуется при решении многих задач высшей математики, например, при нахождении пределов, интегралов, исследовании функций на возрастание и убывание и других.

Разумеется, квадратного трёхчлена может может и не быть в выражении в первоначальном виде, он может быть получен в процессе предварительных преобразований выражения.

Формула корней квадратного уравнения "переоткрывалась" неоднократно. Один из первых дошедших до наших дней выводов этой формулы принажлежит индийскому математику Брахмагупте (около 598 г.). Среднеазиатский учёный аль-Хорезми (IX в.) получил эту формулу методом выделения полного квадрата с помощью геометрической иллюстрации. Суть его рассуждений видна из рисунка ниже (он рассматривает уравнение x² + 10x = 39).

Площадь большого квадрата равна (x + 5)². Она складывается из площади x² + 10x заштрихованной фигуры, равной левой части рассматриваемого уравнения, и площади четырёх квадратов со стороной 5/2, равной 25. Получается следующее уравнение и его решение:

Пример 11. Отрезок ткани стоит 180 у.ед. Если бы ткани в отрезке было на 2,5 м больше и цена отрезка оставалась бы прежней, то цена 1 м ткани была бы на 1 у.ед. меньше. Сколько ткани в отрезке?

Решение. Примем количество ткани в отрезке за x и получим уравнение:

Приведём обе части уравнения к общему знаменателю:

Произведём дальнейшие преобразования:

Получили квадратное уравнение, которое и решим:

Ясно, что количество ткани не может быть отрицательным, поэтому в качестве ответа из двух корней квадратного уравнения подходит лишь один корень - положительный.

Ответ: в отрезке 20 м ткани.

Проверить решение можно с помощью онлайн калькулятора квадратных уравнений.

Пример 12. Товар, количество которого 187,5 кг, взвешивают в одинаковых ящиках. Если в каждом ящике количество товара уменьшить на 2 кг, то следовало бы использовать на 2 ящика больше и при этом 2 кг товара остались бы невзвешенными. Сколько кг товара взвешивают в каждом ящике?

Решение. Примем за x количество товара, взвешиваемого в одном ящике. Тогда получим уравнение:

Приведём обе части уравнения к общему знаменателю, произведём дальнейшие преобразования и получим квадратное уравнение. Процесс записывается так:

Найдём дискриминант:

Найдём корни квадратного уравнения:

Количество товара не может быть отрицательным, поэтому в качестве ответа из двух корней квадратного уравнения подходит лишь положительный корень.

Ответ: в одном ящике взвешивают 12,5 кг ткани.

Проверить решение можно с помощью онлайн калькулятора квадратных уравнений.

Другие темы в блоке "Школьная математика"

function-x.ru

Решение иррациональных уравнений

Решение  иррациональных уравнений.

В этой статье мы поговорим о способах решения простейших иррациональных уравнений.

Иррациональным  уравнением  называется уравнение, которое содержит неизвестное под знаком корня.

Давайте рассмотрим два вида иррациональных уравнений, которые очень похожи на первый взгляд, но по сути  сильно друг от друга отличаются.

root{3}{f(x)}=g(x)  (1)

и

sqrt{f(x)}=g(x)   (2)

В первом уравнении root{3}{f(x)}=g(x)  мы видим, что  неизвестное стоит под знаком корня третьей степени. Мы можем извлекать корень нечетной степени из отрицательного числа, поэтому в этом уравнении нет никаких ограничений ни на выражение, стоящее под знаком корня, ни на выражение, стоящее в правой части уравнения.  Мы можем возвести обе части уравнения в третью степень, чтобы избавиться от корня. Получим равносильное уравнение:

f(x)=g^3{(x)}

При возведении правой и левой части уравнения в нечетную степень  мы можем не опасаться  получить посторонние корни.

Пример 1. Решим уравнение root{3}{3x^2-2x}=x

Возведем обе части уравнения в третью степень. Получим равносильное уравнение:

3x^2-2x=x^3

Перенесем все слагаемые в одну сторону и вынесем за скобки х:

x^3-3x^2+2 x=0

x(x^2-3x+2)=0

Приравняем каждый множитель к нулю, получим:

x_1=0,   x_2=1,    x_3=2

Ответ: {0;1;2}

Посмотрим внимательно на второе  уравнение: sqrt{f(x)}=g(x). В левой части уравнения стоит квадратный корень, который принимает только  неотрицательные значения. Поэтому, чтобы уравнение имело решения, правая часть тоже должна быть неотрицательной. Поэтому на правую часть уравнения накладывается условие:

g(x)>=0 - это условие существования корней.

Чтобы решить уравнение такого вида, нужно обе части уравнения возвести в квадрат:

f(x)=g^2{(x)}  (3)

Возведение в квадрат может привести к появлению посторонних корней, поэтому нам надо учесть ОДЗ уравнения:

f(x)>=0  (4)

Однако, неравенство (4) следует из условия (3): если в правой части равенства стоит квадрат какого-то выражения, а квадрат любого выражения может принимать только неотрицательные значения, следовательно левая часть тоже должна быть неотрицательна. Поэтому условие (4) автоматически следует из условия (3) и наше уравнение sqrt{f(x)}=g(x) равносильно системе:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{f(x)=g^2{(x)}} {g(x)>=0} }}{ }  

Пример 2. Решим уравнение:

sqrt{2x^2-7x+5}=1-x.

Перейдем к равносильной системе:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{2x^2-7x+5={(1-x)}^2} {1-x>=0} }}{ }  

Решим первое уравнение системы и проверим, какие корни удовлетворяют неравеству.

2x^2-7x+5={(1-x)}^2

2x^2-7x+5=x^2-2x+1

x^2-5x+4=0

x_1=1,   x_2=4

Неравеству 1-x>=0удовлетворяет только корень x=1

Ответ: x=1

Внимание! Если мы в процессе решения  возводим обе части уравнения в квадрат, то нужно помнить, что могут появиться посторонние корни. Поэтому либо нужно переходить к равносильной системе, либо в конце решения СДЕЛАТЬ ПРОВЕРКУ: найти корни и подставить их в исходное уравнение.

Пример 3. Решим уравнение:

sqrt{2x+5}=8-sqrt{x-1}

Чтобы решить это уравнение, нам также нужно возвести обе части в квадрат. Давайте в этом уравнении не будем заморачиваться с ОДЗ и условием существования корней, а просто в конце решения сделаем проверку.

Воозведем обе части уравнения в квадрат:

2x+5=64-16sqrt{x-1}+(x-1)

Перенесем слагаемое, содержащее корень влево, а все остальные слагаемые вправо:

16sqrt{x-1}=64+x-1-2x-5

16sqrt{x-1}=58-x

Еще раз возведем обе части уравнения в квадрат:

16sqrt{x-1}={(58-x)}^2

256(x-1)=3364-116x+x^2

x^2-372x+3620=0

По тереме Виета:

x_1=10,   x_2=362

Сделаем проверку. Для этого подставим найденные  корни в исходное уравнение. Очевидно, что при  x=362 правая часть исходного уравнения отрицательна, а левая положительна.

При x=10 получаем верное равенство.

Ответ: x=10

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

ege-ok.ru

Квадратное уравнение с комплексными корнями

Рассмотрим решение уравнений с комплексными корнями и коэффициентами.

Определение 1

Двучленным называется уравнение вида $x^{n} =A$.

Рассмотрим три случая:

  • В случае если $A$ - это положительное действительное число, то корни уравнения находятся по формуле
  • \[x_{k} =\sqrt[{n}]{A} \cdot \left(\cos \frac{2k\pi }{n} +i\cdot \sin \frac{2k\pi }{n} \right),\, \, \, k=0,..,n-1.\]
  • В случае если $A$ - это отрицательное действительное число, то корни уравнения находятся по формуле
  • \[x_{k} =\sqrt[{n}]{|A|} \cdot \left(\cos \frac{\pi +2k\pi }{n} +i\cdot \sin \frac{\pi +2k\pi }{n} \right),\, \, \, k=0,..,n-1.\]
  • В случае если $A$ - это комплексное число, то корни уравнения находятся по формуле
  • \[x_{k} =\sqrt[{n}]{r} \cdot (\cos \frac{\varphi +2\pi k}{n} +i\sin \frac{\varphi +2\pi k}{n} ),\, \, \, k=0..n-1.\]

Пример 1

Решить уравнение: $x^{3} =8$.

Решение:

Так как $A>0$, то $x_{k} =\sqrt[{3}]{8} \cdot \left(\cos \frac{2k\pi }{3} +i\cdot \sin \frac{2k\pi }{3} \right),\, \, \, k=0,..,2$.

При $k=0$ получаем $x_{0} =\sqrt[{3}]{8} \cdot \left(\cos 0+i\cdot \sin 0\right)=\sqrt[{3}]{8} =2$.

При $k=1$ получаем

\[x_{1} =\sqrt[{3}]{8} \cdot \left(\cos \frac{2\pi }{3} +i\cdot \sin \frac{2\pi }{3} \right)=\sqrt[{3}]{8} \cdot (-\frac{1}{2} +\frac{\sqrt{3} }{2} \cdot i)=2\cdot (-\frac{1}{2} +\frac{\sqrt{3} }{2} \cdot i)=-1+\sqrt{3} \cdot i.\]

При $k=2$ получаем

\[x_{2} =\sqrt[{3}]{8} \cdot \left(\cos \frac{4\pi }{3} +i\cdot \sin \frac{4\pi }{3} \right)=\sqrt[{3}]{8} \cdot (-\frac{1}{2} -\frac{\sqrt{3} }{2} \cdot i)=2\cdot (-\frac{1}{2} -\frac{\sqrt{3} }{2} \cdot i)=-1-\sqrt{3} \cdot i.\]

Пример 2

Решить уравнение: $x^{3} =1+i$.

Решение:

Так как $A$ - комплексное число, то

\[x_{k} =\sqrt[{n}]{r} \cdot (\cos \frac{\varphi +2\pi k}{n} +i\sin \frac{\varphi +2\pi k}{n} ),\, \, \, k=0..n-1,\, \, \, k=0,..,2.\]

Тригонометрическая форма записи некоторого комплексного числа имеет вид $z=r(\cos \varphi +i\cdot \sin \varphi )$.

По условию $a=1,b=1$.

Вычислим модуль исходного комплексного числа:

\[r=\sqrt{1^{2} +1^{2} } =\sqrt{1+1} =\sqrt{2} \]

Вычислим аргумент исходного комплексного числа:

\[\varphi =\arg z=arctg\frac{1}{1} =arctg1=\frac{\pi }{4} \]

Подставим полученные значения и получим:

\[A=\sqrt{2} \cdot (\cos \frac{\pi }{4} +i\sin \frac{\pi }{4} )\]

Уравнение перепишем в виде:

\[x^{3} =\sqrt{2} \cdot (\cos \frac{\pi }{4} +i\sin \frac{\pi }{4} )\]

При $k=0$ получаем $x_{0} =\sqrt[{3}]{\sqrt{2} } \cdot \left(\cos \frac{\pi /4}{3} +i\cdot \sin \frac{\pi /4}{3} \right)=\sqrt[{3}]{\sqrt{2} } \cdot \left(\cos \frac{\pi }{12} +i\cdot \sin \frac{\pi }{12} \right)=\sqrt[{6}]{2} \cdot \left(\cos \frac{\pi }{12} +i\cdot \sin \frac{\pi }{12} \right)$.

При $k=1$ получаем

\[\begin{array}{l} {x_{1} =\sqrt[{3}]{\sqrt{2} } \cdot \left(\cos \frac{\pi /4+2\pi }{3} +i\cdot \sin \frac{\pi /4+2\pi }{3} \right)=\sqrt[{3}]{\sqrt{2} } \cdot \left(\cos \frac{3\pi }{4} +i\cdot \sin \frac{3\pi }{4} \right)=} \\ {=\sqrt[{6}]{2} \cdot \left(\cos \frac{3\pi }{4} +i\cdot \sin \frac{3\pi }{4} \right)} \end{array}\]

При $k=2$ получаем

\[\begin{array}{l} {x_{2} =\sqrt[{3}]{\sqrt{2} } \cdot \left(\cos \frac{\pi /4+4\pi }{3} +i\cdot \sin \frac{\pi /4+4\pi }{3} \right)=\sqrt[{3}]{\sqrt{2} } \cdot \left(\cos \frac{17\pi }{12} +i\cdot \sin \frac{17\pi }{12} \right)=} \\ {=\sqrt[{6}]{2} \cdot \left(\cos \frac{17\pi }{12} +i\cdot \sin \frac{17\pi }{12} \right)} \end{array}\]

Определение 2

Квадратным называется уравнение вида $ax^{2} +bx+c=0$, где коэффициенты $a,b,c$ в общем случае являются некоторыми комплексными числами.

Решение квадратного уравнения находится с помощью дискриминанта $D=b^{2} -4ac$, при этом

\[x_{1,2} =\frac{-b\pm \sqrt{D} }{2a} .\]

Примечание 1

В случае, когда дискриминант является отрицательным числом, корни данного уравнения являются комплексными числами.

Пример 3

Решить уравнение $x^{2} +2x+5=0$ и изобразить корни на плоскости.

Решение:

Вычислим дискриминант:

\[D=2^{2} -4\cdot 1\cdot 5=4-20=-16.\]

Так как $D \[x_{1,2} =\frac{-2\pm \sqrt{-16} }{2} =\frac{-2\pm i\cdot \sqrt{16} }{2} =\frac{-2\pm i\cdot 4}{2} =-1\pm 2i.\]

Изображение корней уравнения на комплексной плоскости (так как корни комплексные) приведено на рис. 1.

Рис. 1

Примечание 2

В случае, когда уравнение имеет комплексные корни, они являются комплексно-сопряженными числами.

Определение 3

Комплексное число вида $\overline{z}=a-bi$ называется числом комплексно-сопряженным для $z=a+bi$.

Примечание 3

Известно, что если $x_{1,2} $ являются корнями квадратного уравнения $ax^{2} +bx+c=0$, то данное уравнение можно переписать в виде $(x-x_{1} )(x-x_{2} )=0$. В общем случае $x_{1,2} $ являются комплексными корнями.

Пример 4

Зная корни уравнения $x_{1,2} =1\pm 2i$, записать исходное уравнение.

Решение:

Запишем уравнение следующим образом:

\[(x-(1-2i))\cdot (x-(1+2i))=0.\]

Выполним умножение комплексных чисел

\[x^{2} -(1-2i)\cdot x-x\cdot (1+2i)+(1-2i)\cdot (1+2i)=0\]\[x^{2} -x+2i\cdot x-x-2i\cdot x+1-4i^{2} =0\] \[x^{2} -2x+1+4=0\] \[x^{2} -2x+5=0\]

Следовательно, $x^{2} -2x+5=0$ - искомое уравнение.

Рассмотрим квадратное уравнение с комплексными коэффициентами.

Пример 5

Решить уравнение: $z^{2} +(1-2i)\cdot z-(1+i)=0$ и изобразить корни на плоскости.

Решение:

Вычислим дискриминант:

\[D=(1-2i)^{2} +4\cdot 1\cdot (1+i)=1-4i+4i^{2} +4+4i=1-4+4=1.\]

Так как $D>0$, уравнение имеет два корня:

\[x_{1} =\frac{-(1-2i))-\sqrt{1} }{2} =\frac{-1+2i-1}{2} =\frac{-2+2i}{2} =-1+i.\] \[x_{2} =\frac{-(1-2i))+\sqrt{1} }{2} =\frac{-1+2i+1}{2} =\frac{2i}{2} =i.\]

Изображение корней уравнения на комплексной плоскости (так как корни комплексные) приведено на рис. 2.

Рис. 2

Примечание 4

В случае, когда уравнение имеет комплексные коэффициенты, его корни не обязательно являются комплексно-сопряженными числами.

spravochnick.ru

Квадратное уравнение, корни квадратного уравнения, решение квадратного уравнения.

Квадратное уравнение – что это?

 

Квадратное уравнение – это уравнение, которое имеет вид:

\(ax^2+bx+c=0\)

 

Что такое a, b и с? Это коэффициенты. У каждого есть свои названия:

а – старший коэффициент;

b – средний коэффициент;

с – свободный член;

a, b, c – абсолютно любые числа. Но здесь важно: а ≠ 0.

 

Почему именно так? Давай поразмышляем: если предположить, что а все же будет равно 0, то наше уравнение уже не будет квадратным и превратится в линейное:

\(bx+c=0\)

А такие уравнения ты уже решать умеешь, поэтому мы вернемся обратно к квадратным уравнениям.

 

Как выглядит квадратное уравнение?

 

К слову, квадратное уравнение может выглядеть необязательно как стандартное: \(ax^2+bx+c=0\)

Оно может иметь и другой вид, например:

\(ac^2+bx=c\)

(здесь свободный член с находится по другую сторону знака равно) или \(ax^2=c\) (тут средний коэффициент b = 0, а с находится по другую сторону знака равно). Также коэффициенты могут быть отрицательными и т.д.

Однако следует помнить, что абсолютно любое квадратное уравнение можно привести к стандартному виду:

\(ax^2+bx+c=0\)

 

Как же решать квадратное уравнение?

 

Существует всего три результата решения квадратного уравнения:

  1. Уравнение не имеет решения.
  2. Уравнение имеет только один корень.
  3. Уравнение имеет два корня.

 

Как определить, под какой из этих случаев подпадет наше квадратное уравнение? Для этого нам понадобится дискриминант: он нам поможет в решении квадратного уравнения. Дискриминантом (образован от латинского discrimino – «разбираю»)  мы обозначим следующее выражение:

\(D=b^2-4ac\),

где D – дискриминант, а a, b, c – коэффициенты квадратного уравнения.

 

Чем конкретно нам может помочь дискриминант?

  1. Если D < 0 – то квадратное уравнение не имеет решений;
  2. Если D = 0 – то уравнение будет иметь только один корень;
  3. Если D > 0 – то уравнение имеет два решения.

То есть благодаря дискриминанту мы будем знать о результате и количестве решений квадратного уравнения.

Итак, мы посчитали, чему равен наш дискриминант, потом определили количество решений уравнения, что дальше? А дальше определяем корни квадратного уравнения по формулам.

  1. В первом случае, когда D < 0, считать ничего не нужно, т.к. уравнение не имеет решений. Это значит, что корней квадратного уравнения на множестве действительных чисел нет.
  2. Во втором варианте, когда D = 0, решение будет одно и единственный корень квадратного уравнения будет равен: \(x=\frac{-b}{2a}\)
  3. Третий случай, при D > 0, наиболее сложный из всех трех возможных: в ответе должно получиться два корня квадратного уравнения.

\(x_1=\frac{-b+\sqrt D}{2a}\)– первый корень квадратного уравнения;

\(x_1=\frac{-b-\sqrt D}{2a}\)– второй корень квадратного уравнения.

 

Решение квадратных уравнений на самом деле не настолько сложное, как кажется на первый взгляд. Всего-то нужно запомнить несколько формул и алгоритм действий. Главное - не бояться вида квадратных уравнений, мы уверены: все у тебя получится! Запишись на бесплатный пробный урок тут и разберись с тем, что тебе непонятно.

Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы "Альфа". Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!

Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

myalfaschool.ru