Таблица Брадиса - КВАДРАТЫ , ВОЗВЕДЕНИЕ В КВАДРАТ. Как возвести число в квадрат


Быстрое возведение чисел в квадрат без калькулятора

21 сентября 2013

Сегодня мы научимся быстро без калькулятора возводить большие выражения в квадрат. Под большими я подразумеваю числа в пределах от десяти до ста. Большие выражения крайне редко встречаются в настоящих задачах, а значения меньше десяти вы и так умеете считать, потому что это обычная таблица умножения. Материал сегодняшнего урока будет полезен достаточно опытным ученикам, потому что начинающие ученики просто не оценят скорость и эффективность этого приема.

Для начала давайте разберемся вообще, о чем идет речь. Предлагаю для примера сделать возведение произвольного числового выражения, как мы обычно это делаем. Скажем, 34. Возводим его, умножив само на себя столбиком:

\[{{34}^{2}}=\times \frac{34}{\frac{34}{+\frac{136}{\frac{102}{1156}}}}\]

1156 — это и есть квадрат 34.

Проблему данного способа можно описать двумя пунктами:

1) он требует письменного оформления;

2) в процессе вычисления очень легко допустить ошибку.

Сегодня мы научимся быстрому умножению без калькулятора, устно и практически без ошибок.

Итак, приступим. Для работы нам потребуется формула квадрата суммы и разности. Давайте запишем их:

\[{{(a+b)}^{2}}={{a}^{2}}+2ab+{{b}^{2}}\]

\[{{(a-b)}^{2}}={{a}^{2}}-2ab+{{b}^{2}}\]

Что нам это дает? Дело в том, что любое значение в пределах от 10 до 100 представимо в виде числа $a$, которое делится на 10, и числа $b$, которое является остатком от деления на 10.

Например, 28 можно представить в следующем виде:

\[\begin{align}& {{28}^{2}} \\& 20+8 \\& 30-2 \\\end{align}\]

Аналогично представляем оставшиеся примеры:

\[\begin{align}& {{51}^{2}} \\& 50+1 \\& 60-9 \\\end{align}\]

\[\begin{align}& {{42}^{2}} \\& 40+2 \\& 50-8 \\\end{align}\]

\[\begin{align}& {{42}^{2}} \\& 40+2 \\& 50-8 \\\end{align}\]

\[\begin{align}& {{77}^{2}} \\& 70+7 \\& 80-3 \\\end{align}\]

\[\begin{align}& {{21}^{2}} \\& 20+1 \\& 30-9 \\\end{align}\]

\[\begin{align}& {{26}^{2}} \\& 20+6 \\& 30-4 \\\end{align}\]

\[\begin{align}& {{39}^{2}} \\& 30+9 \\& 40-1 \\\end{align}\]

\[\begin{align}& {{81}^{2}} \\& 80+1 \\& 90-9 \\\end{align}\]

Что дает нам такое представление? Дело в том, что при сумме или разности, мы можем применить вышеописанные выкладки. Разумеется, чтобы сократить вычисления, для каждого из элементов следует выбрать выражение с наименьшим вторым слагаемым. Например, из вариантов $20+8$ и $30-2$ следует выбрать вариант $30-2$.

Аналогично выбираем варианты и для остальных примеров:

\[\begin{align}& {{28}^{2}} \\& 30-2 \\\end{align}\]

\[\begin{align}& {{51}^{2}} \\& 50+1 \\\end{align}\]

\[\begin{align}& {{42}^{2}} \\& 40+2 \\\end{align}\]

\[\begin{align}& {{77}^{2}} \\& 80-3 \\\end{align}\]

\[\begin{align}& {{21}^{2}} \\& 20+1 \\\end{align}\]

\[\begin{align}& {{26}^{2}} \\& 30-4 \\\end{align}\]

\[\begin{align}& {{39}^{2}} \\& 40-1 \\\end{align}\]

\[\begin{align}& {{81}^{2}} \\& 80+1 \\\end{align}\]

Почему следует стремиться к уменьшению второго слагаемого при быстром умножении? Все дело в исходных выкладках квадрата суммы и разности. Дело в том, что слагаемое $2ab$ с плюсом или с минусом труднее всего считается при решении настоящих задач. И если множитель $a$, кратный 10, всегда перемножается легко, то вот с множителем $b$, который является числом в пределах от одного до десяти, у многих учеников регулярно возникают затруднения.

Можете самостоятельно попробовать рассчитать оба разложения, и вы убедитесь, что разложение с наименьшим вторым слагаемым считается проще. А мы перейдем к примерам, которые посчитаем без калькулятора:

\[{{28}^{2}}={{(30-2)}^{2}}=200-120+4=784\]

\[{{51}^{2}}={{(50+1)}^{2}}=2500+100+1=2601\]

\[{{42}^{2}}={{(40+2)}^{2}}=1600+160+4=1764\]

\[{{77}^{2}}={{(80-3)}^{2}}=6400-480+9=5929\]

\[{{21}^{2}}={{(20+1)}^{2}}=400+40+1=441\]

\[{{26}^{2}}={{(30-4)}^{2}}=900-240+16=676\]

\[{{39}^{2}}={{(40-1)}^{2}}=1600-80+1=1521\]

\[{{81}^{2}}={{(80+1)}^{2}}=6400+160+1=6561\]

Вот так за три минуты мы сделали умножение восьми примеров. Это меньше 25 секунд на каждое выражение. В реальности после небольшой тренировки вы будете считать еще быстрее. На подсчет любого двухзначного выражения у вас будет уходить не более пяти-шести секунд.

Но и это еще не все. Для тех, кому показанный прием кажется недостаточно быстрым и недостаточно крутым, предлагаю еще более быстрый способ умножения, который однако работает не для всех заданий, а лишь для тех, которые на единицу отличаются от кратных 10. В нашем уроке таких значений четыре: 51, 21, 81 и 39.

Казалось бы, куда уж быстрее, мы и так считаем их буквально в пару строчек. Но, на самом деле, ускориться можно, и делается это следующим образом. Записываем значение, кратное десяти, которое наиболее близкое нужному. Например, возьмем 51. Поэтому для начала возведем пятьдесят:

\[{{50}^{2}}=2500\]

Значения, кратные десяти, поддаются возведению в квадрат намного проще. А теперь к исходному выражению просто добавляем пятьдесят и 51. Ответ получится тот же самый:

\[{{51}^{2}}=2500+50+51=2601\]

И так со всеми числами, отличающимися на единицу.

Если значение, которое мы ищем, больше, чем то, которое мы считаем, то к полученному квадрату мы прибавляем числа. Если же искомое число меньше, как в случае с 39, то при выполнении действия, из квадрата нужно вычесть значение. Давайте потренируемся без использования калькулятора:

\[{{21}^{2}}=400+20+21=441\]

\[{{39}^{2}}=1600-40-39=1521\]

\[{{81}^{2}}=6400+80+81=6561\]

Как видите, во всех случаях ответы получаются одинаковыми. Более того, данный прием применим к любым смежным значениям. Например:

\[\begin{align}& {{26}^{2}}=625+25+26=676 \\& 26=25+1 \\\end{align}\]

При этом нам совсем не нужно вспоминать выкладки квадратов суммы и разности и использовать калькулятор. Скорость работы выше всяких похвал. Поэтому запоминайте, тренируйтесь и используйте на практике.

Ключевые моменты

С помощью этого приема вы сможете легко делать умножение любых натуральных чисел в пределах от 10 до 100. Причем все расчеты выполняются устно, без калькулятора и даже без бумаги!

Для начала запомните квадраты значений, кратных 10:

\[\begin{align}& {{10}^{2}}=100,{{20}^{2}}=400,{{30}^{2}}=900,..., \\& {{80}^{2}}=6400,{{90}^{2}}=8100. \\\end{align}\]

Далее — выкладки квадрата суммы или разности, в зависимости от того, к какому опорному значению ближе наше искомое выражение. Например:

\[\begin{align}& {{34}^{2}}={{(30+4)}^{2}}={{30}^{2}}+2\cdot 30\cdot 4+{{4}^{2}}= \\& =900+240+16=1156; \\\end{align}\]

\[\begin{align}& {{27}^{2}}={{(30-3)}^{2}}={{30}^{2}}-2\cdot 30\cdot 3+{{3}^{2}}= \\& =900-180+9=729. \\\end{align}\]

Как считать еще быстрее

Но это еще не все! С помощью данных выражений моментально можно сделать возведение в квадрат чисел, «смежных» с опорными. Например, мы знаем 152 (опорное значение), а надо найти 142 (смежное число, которое на единицу меньше опорного). Давайте запишем:

\[\begin{align}& {{14}^{2}}={{15}^{2}}-14-15= \\& =225-29=196. \\\end{align}\]

Обратите внимание: никакой мистики! Квадраты чисел, отличающиеся на 1, действительно получаются из умножения самих на себя опорных чисел, если вычесть или добавить два значения:

\[\begin{align}& {{31}^{2}}={{30}^{2}}+30+31= \\& =900+61=961. \\\end{align}\]

Почему так происходит? Давайте запишем формулу квадрата суммы (и разности). Пусть $n$ — наше опорное значение. Тогда они считаются так:

\[\begin{align}& {{(n-1)}^{2}}=(n-1)(n-1)= \\& =(n-1)\cdot n-(n-1)= \\& =={{n}^{2}}-n-(n-1) \\\end{align}\]

— это и есть формула.

\[\begin{align}& {{(n+1)}^{2}}=(n+1)(n+1)= \\& =(n+1)\cdot n+(n+1)= \\& ={{n}^{2}}+n+(n+1) \\\end{align}\]

— аналогичная формула для чисел, больших на 1.

Надеюсь, данный прием сэкономит вам время на всех ответственных контрольных и экзаменах по математике. А у меня на этом все. До встречи!

Смотрите также:

  1. Как помочь школьнику изучать математику
  2. Задача B1 — время, числа и проценты
  3. Пробный ЕГЭ 2012. Вариант 6 (без производных)
  4. Центральные и вписанные углы в задании 6
  5. Упрощаем решение задач с помощью замены переменной
  6. Задача B4 про три дороги — стандартная задача на движение

www.berdov.com

Как возвести число в квадрат

Если умножить число само на себя, получится возведение в квадрат . Даже первоклассник знает, что «двукратно два — четыре». Трехзначные, четырехзначные и т.д. числа отменнее перемножать в столбик либо на калькуляторе, а вот с двузначными справляйтесь без электронного помощника, умножая в уме.

Инструкция

1. Разложите всякое двузначное число на составляющие, выделив число единиц. В числе 96 число единиц — 6. Следственно дозволено записать: 96 = 90 + 6.

2. Возведите в квадрат первое из чисел: 90 * 90 = 8100.

3. Подобно сделайте со вторым число м: 6 * 6 = 36

4. Перемножьте числа между собой и удвойте итог: 90 * 6 * 2 = 540 * 2 = 1080.

5. Сложите итоги второго, третьего и четвертого шагов: 8100 + 36 + 1080 = 9216. Это и есть итог возведения в квадрат числа 96. Позже некоторой тренировки сумеете стремительно делать шаги в уме, поражая родителей и одноклассников. Пока не освоились, записывайте итоги всего шага, дабы не запутаться.

6. Для тренировки возведите в квадрат число 74 и проверьте себя на калькуляторе. Последовательность действий: 74 = 70 + 4, 70 * 70 = 4900, 4 * 4 = 16, 70 * 4 * 2 = 560, 4900 + 16 + 560 = 5476.

7. Возведите во вторую степень число 81. Ваши действия: 81 = 80 + 1, 80 * 80 = 6400, 1 * 1 = 1, 80 * 1 * 2 = 160, 6400 + 1 + 160 = 6561.

8. Запомните нестандартный метод возведения в квадрат двузначных чисел, которые оканчиваются на цифру 5. Выделите число десятков: в числе 75 их 7 штук.

9. Умножьте число десятков на следующую цифру в число вом ряду: 7 * 8 = 56.

10. Припишите справа число 25: 5625 — итог возведения в квадрат числа 75.

11. Для тренировки возведите во вторую степень число 95. Оно оканчивается на цифру 5, следственно последовательность действий: 9 * 10 = 90, 9025 — итог.

12. Обучитесь возводить в квадрат негативные числа: -95 в квадрат е равно 9025, как в одиннадцатом шаге. Подобно -74 в квадрат е равно 5476, как в шестом шаге. Это связано с тем, что при умножении 2-х негативных чисел неизменно получается правильное число : -95 * -95 = 9025. Следственно при возведении в квадрат можете легко не обращать внимания на знак «минус».

Возведение числа в степень является одним из простейших алгебраических действий. В обыденной жизни возведение используется редко, а вот на производстве при выполнении расчетов – фактически повсюду, следственно пригодно припомнить, как это делается.

Инструкция

1. Представим, что мы имеем какое-то число а, степенью которого является число n. Построить число в степень обозначает, что нужно умножить число а на самоё себя n раз.

2. Разглядим несколько примеров.Дабы построить число 2 во вторую степень, нужно произвести действие:2х2=4

3. Дабы построить число 3 в пятую степень, нужно исполнить действие:3х3х3х3х3=243

4. Существует общепринятое обозначение 2-й и третьей степени чисел. Словосочетание «вторая степень» обыкновенно заменяется словом «квадрат», а взамен словосочетания «третья степень» традиционно говорят «куб».

5. Как видно из приведенных выше примеров, продолжительность и трудоемкость вычислений зависит от величины показателя степени числа. Возведение в квадрат либо куб – достаточно простая задача; возведение числа в пятую либо огромную степень теснее требует огромнее времени и аккуратности в вычислениях. Для убыстрения данного процесса и исключения ошибок дозволено воспользоваться особыми математическими таблицами либо инженерным калькулятором.

Для короткой записи произведения одного и того же числа самого на себя математики придумали представление степени. Следственно выражение 16*16*16*16*16 дозволено записать больше коротким методом. Оно будет иметь вид 16^5. Выражение будет читаться как число 16 в пятой степени.

Вам понадобится

  • Бумага, ручка.

Инструкция

1. В всеобщем виде степень записывается как a^n. Эта запись обозначает, что число a умножается на себя n раз.Выражение a^n именуется степень ю,a – это число, основание степени,n – это число, показатель степени. Скажем, a = 4, n = 5,Тогда запишем 4^5 = 4*4*4*4*4 = 1 024

2. Степень n может быть негативным числомn = -1, -2, -3 и т.д.Дабы вычислить негативную степень числа, его нужно опустить в знаменатель.a^(-n) = (1/a)^n = 1/a*1/a*1/a* … *1/a = 1/(a^n)Разглядим пример2^(-3) = (1/2)^3 = 1/2*1/2*1/2 = 1/(2^3) = 1/8 = 0,125

3. Как видно из примера, -3 степень от числа 2 дозволено вычислить различными методами.1) Вначале посчитать дробь 1/2 = 0,5; а после этого построить в степень 3,т.е. 0,5^3 = 0,5*0,5*0,5 = 0,1252) Вначале построить знаменатель в степень 2^3 = 2*2*2 = 8, а после этого вычислить дробь 1/8 = 0,125.

4. Сейчас вычислим -1 степень для числа, т.е. n = -1. Правила, рассмотренные выше, подходят для этого случая.a^(-1) = (1/a)^1 = 1/(a^1) = 1/aНапример, построим число 5 в -1 степень 5^(-1) = (1/5)^1 = 1/(5^1) = 1/5 = 0,2.

5. Из примера наглядно видно, что число в -1 степени – это обратная дробь от числа.Предположим число 5 в виде дроби 5/1, тогда 5^(-1) дозволено арифметически не считать, а сразу написать дробь, обратную 5/1, это 1/5.Так, 15^(-1) = 1/15,6^(-1) = 1/6,25^(-1) = 1/25

Обратите внимание! При возведении числа в негативную степень следует помнить, что число не может быть равно нулю. Согласно правилу, мы обязаны число опустить в знаменатель. А нуль не может быть в знаменателе, так как на нуль разделять невозможно.

Полезный совет Изредка при работе со степенями для облегчения расчета дробное число намеренно заменяют целым в -1 степени1/6 = 6^(-1)1/52 = 52^(-1).

При решении арифметических и алгебраических задач изредка требуется построить дробь в квадрат . Проще каждого это сделать, когда дробь десятичная – довольно обыкновенного калькулятора. Впрочем если дробь обычная либо смешанная, то при возведении такого числа в квадрат могут появиться некоторые затруднения.

Вам понадобится

  • калькулятор, компьютер, приложение Excel.

Инструкция

1. Дабы построить десятичную дробь в квадрат , возьмите инженерный калькулятор, наберите на нем возводимую в квадрат дробь и нажмите на клавишу возведения во вторую степень. На большинстве калькуляторов эта кнопка обозначена как «х?». На стандартном калькуляторе Windows функция возведения в квадрат выглядит как «x^2». Скажем, квадрат десятичной дроби 3,14 будет равен: 3,14? = 9,8596.

2. Дабы построить в квадрат десятичную дробь на обыкновенном (бухгалтерском) калькуляторе, умножьте это число само на себя. Кстати, в некоторых моделях калькуляторов предусмотрена вероятность возведения числа в квадрат даже при отсутствии особой кнопки. Следственно заблаговременно ознакомьтесь с инструкцией к определенному калькулятору. Изредка примеры «хитроумного» возведения в степень приведены на задней крышке либо на коробке калькулятора. Скажем, на многих калькуляторах для возведения числа в квадрат довольно нажать кнопки «х» и «=».

3. Для возведения в квадрат обычной дроби (состоящей из числителя и знаменателя), возведите в квадрат по отдельности числитель и знаменатель этой дроби. То есть воспользуйтесь дальнейшим правилом:(ч / з)? = ч? / з?, где ч – числитель дроби, з – знаменатель дроби.Пример: (3/4)? = 3?/4? = 9/16.

4. Если возводимая в квадрат дробь – смешанная (состоит из целой части и обычной дроби), то заранее приведите ее к обычному виду. То есть примените следующую формулу:(ц ч/з)? = ((ц*з+ч) / з)? = (ц*з+ч)? / з?, где ц – целая часть смешанной дроби.Пример: (3 2/5)? = ((3*5+2) / 5)? = (3*5+2)? / 5? = 17? / 5? = 289/25 = 11 14/25.

5. Если возводить в квадрат обычные (не десятичные) дроби доводится непрерывно, то воспользуйтесь программой MS Excel. Для этого введите в одну из клеток таблицы следующую формулу: =СТЕПЕНЬ(A2;2) где А2 – адрес ячейки, в которую будет вводиться возводимая в квадрат дробь .Дабы осведомить программе, что с вводимым числом нужно обращаться как с обычной дробь ю (т.е. не преобразовывать ее в десятичный вид), наберите перед дробь ю цифру «0» и знак «пробел». То есть для ввода, скажем, дроби 2/3 надобно ввести: «0 2/3» (и нажать Enter). При этом в строке ввода отобразится десятичное представление введенной дроби. Значение и представление дроби непринужденно в клетке сохранится в начальном виде. Помимо того, при применении математических функций, доводами которых являются обычные дроби, итог также будет представлен в виде обычной дроби. Следственно квадрат дроби 2/3 будет представлен как 4/9.

Способ выделения квадрата двучлена используется при облегчении массивных выражений, а также для решения квадратных уравнений. На практике его традиционно комбинируют с другими приемами, включая разложение на множители, группировку и пр.

Инструкция

1. Способ выделения полного квадрата двучлена основан на применении 2-х формул сокращенного умножения многочленов. Эти формулы являются частными случаями Бинома Ньютона для 2-й степени и разрешают упростить желанное выражение так, дабы дозволено было провести дальнейшее сокращение либо разложение на множители:(m + n)² = m² + 2·m·n + n²;(m — n)² = m² — 2·m·n + n².

2. Согласно этому способу из начального многочлена требуется выделить квадраты 2-х одночленов и сумму/разность их двойного произведения. Использование этого способа имеет толк, если старшая степень слагаемых не поменьше 2. Представим, дано задание разложить на множители с понижением степени следующее выражение:4·y^4 + z^4

3. Для решения задачи необходимо воспользоваться способом выделения полного квадрата. Выходит, выражение состоит из 2-х одночленов с переменными четной степени. Следственно, дозволено обозначить всякий из них через m и n:m = 2·y²; n = z².

4. Сейчас надобно привести начальное выражение к виду (m + n)². В нем теснее присутствуют квадраты этих слагаемых, но не хватает двойного произведения. Необходимо добавить его неестественно, а потом вычесть:(2·y²)² + 2·2·y²·z² + (z²)² — 2·2·y² ·z² = (2·y² + z²)² – 4·y²·z².

5. В получившемся выражении дозволено увидеть формулу разности квадратов:(2·y² + z²)² – (2·y·z)² = (2·y² + z² – 2·y·z)· (2·y² + z² + 2·y·z).

6. Выходит, способ состоит из 2-х этапов: выделение одночленов полного квадрата m и n, прибавление и вычитание их двойного произведения. Способ выделения полного квадрата двучлена может использоваться не только самосильно, но и в комбинации с другими способами: вынесения за скобки всеобщего множителя, замена переменной, группировки слагаемых и пр.

7. Пример 2.Выделите полный квадрат в выражении:4·y² + 2·y·z + z².Решение.4·y² + 2·y·z + z² =[m = 2·y, n = z] = (2·y)² + 2·2·y·z + (z) ² – 2·y·z = (2·y + z)² – 2·y·z.

8. Способ используется при нахождении корней квадратного уравнения. Левая часть уравнения представляет собой трехчлен вида a·y? + b·y + c, где a, b и c – какие-то числа, причем a ? 0. a·y? + b·y + c = a·(y? + (b/a)·y) + c = a·(y? + 2·(b/(2·a))·y) + c = a·(y? + 2·(b/(2·a))·y + b?/(4·a?)) + c – b?/(4·a) = a·(y + b/(2·a)) ? – (b? – 4·a·c)/(4·a).

9. Эти расчеты приводят к представлению дискриминанта, тот, что равен (b? – 4·a·c)/(4·a), а корни уравнения равны:y_1,2 = ±(b/(2•a)) ± ? ((b? – 4·a·c)/(4·a)).

Операция возведения в степень является «бинарной», то есть имеет два непременных входных параметра и один выходной. Один из начальных параметров именуется показателем степени и определяет число раз, которое операция умножения должна быть применена ко второму параметру — основанию. Основание может быть как правильным, так и негативным числом .

Инструкция

1. Используйте при возведении в степень негативного числа обыкновенные для этой операции правила. Как и для позитивных чисел, возведение в степень обозначает умножение начальной величины на саму себя число раз, на единицу меньшее показателя степени. Скажем, дабы построить в четвертую степень число -2, его надобно трижды умножить на себя: -2?=-2*(-2)*(-2)*(-2)=16.

2. Умножение 2-х негативных чисел неизменно дает позитивное значение, а итогом этой операции для величин с различными знаками будет число негативное. Из этого дозволено сделать итог, что при возведении негативных значений в степень с четным показателем неизменно должно получаться число позитивное, а при нечетных показателях итог неизменно будет поменьше нуля. Используйте это качество для проверки произведенных расчетов. Скажем, -2 в пятой степени должно быть числом негативным -2?=-2*(-2)*(-2)*(-2)*(-2)=-32, а -2 в шестой — позитивным -2?=-2*(-2)*(-2)*(-2)*(-2)*(-2)=64.

3. При возведении негативного числа в степень показатель может быть приведен в формате обычной дроби — скажем, -64 в степени ?. Такой показатель обозначает, что начальную величину следует построить в степень, равную числителю дроби, и извлечь из нее корень степени, равной знаменателю. Одна часть этой операции рассмотрена в предыдущих шагах, а тут вам следует обратить внимание на иную.

4. Извлечение корня — нечетная функция, то есть для негативных вещественных чисел она может использоваться только при нечетном показателе степени. При четном эта функция значения не имеет. Следственно, если в условиях задачи требуется построить негативное число в дробную степень с четным знаменателем, то задача решения не имеет. В остальных случая проделайте вначале операции из первых 2-х шагов, применяя в качестве показателя степени числитель дроби, а после этого извлеките корень со степенью знаменателя.

Степенной формат записи числа — это сокращенная форма записи операции умножения основания на само себя. С числом, представленным в такой форме, дозволено осуществлять те же операции, что и с всякими другими числами, в том числе и возводить их в степень . Скажем, дозволено построить в произвольную степень квадрат числа и приобретение итога на современном ярусе становления техники не составит какой-нибудь сложности.

Вам понадобится

  • Доступ в интернет либо калькулятор Windows.

Инструкция

1. Для возведения квадрат а в степень используйте всеобщее правило возведения в степень числа, теснее имеющего степенной показатель. При такой операции показатели перемножаются, а основание остается бывшим. Если основание обозначить как x, а начальный и добавочный показатели степени — как a и b, записать это правило в всеобщем виде дозволено так: (x?)?=x??.

2. Для утилитарных расчетов проще каждого воспользоваться поисковой системой Google — в нее встроен дюже легкой в применении калькулятор. Скажем, если требуется построить в пятую степень квадрат числа 6, перейдите на основную страницу поисковика и введите соответствующий запрос. Сформулировать его дозволено так: (6^2)^5 — тут значок ^ обозначает степень . А дозволено самосильно рассчитать результирующий показатель степени в соответствии с формулой из предыдущего шага и сформулировать запрос так: 6^10. Либо доверить сделать это Google, введя такой запрос: 6^(2*5). Для всякого из этих вариантов калькулятор поисковика вернет идентичный результат: 60 466 176.

3. При отсутствии доступа в интернет вычислитель Google дозволено заменить, скажем, встроенным калькулятором Windows. Если вы используете версии Seven либо Vista этой ОС, раскройте основное меню системы и наберите каждого две буквы: «ка». Система отобразит в основном меню все программы и файлы, которые у нее ассоциируется с этим сочетанием. В первой строке будет ссылка «Калькулятор» — кликните по ней мышкой, и приложение будет запущено.

4. Нажмите сочетание клавиш Alt + 2, дабы в интерфейсе приложения возникла кнопка с функцией возведения в произвольную степень . После этого введите основание — в примере из второго шага это число 6 — и кликните вначале по кнопке x?, а после этого по кнопке x?. Введите показатель степени, в которую надобно построить квадрат — в использованном примере это число 5. Нажмите кнопку Enter, и калькулятор отобразит окончательный итог операции.

Видео по теме

Полезный совет Дабы тренировка не была тоскливой, позовите на подмога друга. Пускай он пишет двузначное число, а вы — вывод возведения этого числа в квадрат. После этого меняйтесь местами.

jprosto.ru

Урок 7. Возведение в квадрат в уме

Умение считать в уме квадраты чисел может пригодиться в разных жизненных ситуациях, например, для быстрой оценки инвестиционных сделок, для подсчета площадей и объемов, а также во многих других случаях. Кроме того, умение считать квадраты в уме может служить демонстрацией ваших интеллектуальных способностей. В данной статье разобраны методики и алгоритмы, позволяющие научиться этому навыку.

Квадрат суммы и квадрат разности

Одним из самых простых способов возведения двузначных чисел в квадрат является методика, основанная на использовании формул квадрата суммы и квадрата разности:

Для использования этого метода необходимо разложить двузначное число на сумму числа кратного 10 и числа меньше 10. Например:

  • 372 = (30+7)2 = 302 + 2*30*7 + 72 = 900+420+49 = 1 369
  • 942 = (90+4)2 = 902 + 2*90*4 + 42 = 8100+720+16 = 8 836

Практически все методики возведения в квадрат (которые описаны ниже) основываются на формулах квадрата суммы и квадрата разности. Эти формулы позволили выделить ряд алгоритмов упрощающих возведение в квадрат в некоторых частных случаях.

Квадрат близкий к известному квадрату

Если число, возводимое в квадрат, находится близко к числу, квадрат которого мы знаем, можно использовать одну из четырех методик для упрощенного счета в уме:

На 1 больше:

Методика: к квадрату числа на единицу меньше прибавляем само число и число на единицу меньше.

  • 312 = 302 + 31 + 30 = 961
  • 162 = 152 + 15 + 16 = 225 + 31 = 256

На 1 меньше:

Методика: из квадрата числа на единицу больше вычитаем само число и число на единицу больше.

  • 192 = 202 – 19 – 20 = 400 – 39 = 361
  • 242 = 252 – 24 – 25 = 625 – 25 – 24 = 576

На 2 больше

Методика: к квадрату числа на 2 меньше прибавляем удвоенную сумму самого числа и числа на 2 меньше.

  • 222 = 202 + 2*(20+22) = 400 + 84 = 484
  • 272 = 252 + 2*(25+27) = 625 + 104 = 729

На 2 меньше

Методика: из квадрата числа на 2 больше вычитаем удвоенную сумму самого числа и числа на 2 больше.

  • 482 = 502 – 2*(50+48) = 2500 – 196 = 2 304
  • 982 = 1002 – 2*(100+98) = 10 000 – 396 = 9 604

Все эти методики можно легко доказать, выведя алгоритмы из формул квадрата суммы и квадрата разности (о которых сказано выше).

Квадрат чисел, заканчивающихся на 5

Чтобы возвести в квадрат числа, заканчивающиеся на 5. Алгоритм прост. Число до последней пятерки, умножаем на это же число плюс единица. К оставшемуся числу приписываем 25.

  • 152 = (1*(1+1)) 25 = 225
  • 252 = (2*(2+1)) 25 = 625
  • 852 = (8*(8+1)) 25 = 7 225

Это верно и для более сложных примеров:

  • 1552 = (15*(15+1)) 25 = (15*16)25 = 24 025

Квадрат чисел близких к 50

Считать квадрат чисел, которые находятся в диапазоне от 40 до 60, можно очень простым способом. Алгоритм таков: к 25 прибавляем (или вычитаем) столько, насколько число больше (или меньше) 50. Умножаем эту сумму (или разность) на 100. К этому произведению добавляем квадрат разности числа, возводимого в квадрат, и пятидесяти. Посмотрите работу алгоритма на примерах:

  • 442 = (25-6)*100 + 62 = 1900 + 36 = 1936
  • 532 = (25+3)*100 + 32 = 2800 + 9 = 2809

Квадрат трехзначных чисел

Возведение в квадрат трехзначных чисел может быть осуществлено при помощи одной из формул сокращенного умножения:

Нельзя сказать, что этот способ является удобным для устного счета, но в особо сложных случаях его можно взять на вооружение:

4362 = (400+30+6)2= 4002 + 302 + 62 + 2*400*30 + 2*400*6 + 2*30*6 = 160 000 + 900 + 36 + 24 000 + 4 800 + 360 = 190 096

Тренировка

Если вы хотите прокачать свои умения по теме данного урока, можете использовать следующую игру. На получаемые вами баллы влияет правильность ваших ответов и затраченное на прохождение время. Обратите внимание, что числа каждый раз разные.

Перед тем как начать игру, рекомендуем зарегистрироваться, чтобы результат был сохранен в вашей истории, и вы смогли бы видеть собственный прогресс.

Евгений Буянов

4brain.ru

Как возводить в квадрат разными способами?

#1

Как известно, площадь прямоугольника вычисляется перемножением длин двух его различных сторон. У квадрата все стороны равны, поэтому нужно перемножить сторону саму на себя. Отсюда и возникло выражение "возвести в квадрат". Пожалуй, самый простой способ возвести любое число в квадрат – взять обычный калькулятор и перемножить нужное число само на себя. Если под рукой нет калькулятора – можно использовать встроенный калькулятор в мобильном телефоне. Для более продвинутых пользователей можно посоветовать воспользоваться приложением Office Microsoft Excel, особенно, если подобные вычисления нужно проводить достаточно часто. Для этого необходимо выделить произвольную ячейку, например G7, и вписать в нее формулу =F7*F7. Далее в ячейку F7 ввести любое число, а в ячейке G7 получить результат.

#2

Как возвести в квадрат число, последняя цифра которого 5. Для возведения в квадрат этого числа нужно отбросить последнюю цифру числа. Полученное число необходимо перемножить с числом на 1 большим. Затем нужно дописать число 25 справа после полученного результата. Пример. Пусть требуется получить квадрат числа 35. После того, как будет отброшена последняя цифра 5, остается число 3. Добавляется 1- получается число 4.3х4=12. Дописывается 25 и получается результат 1225. 35х35=3*4 дописать 25=1225.

#3

Как возвести в квадрат число, последняя цифра которого 6. Этот алгоритм подойдет для тех, кто разобрался с вопросом, как возвести в квадрат число, оканчивающиеся на цифру 5. Как известно из математики, квадрат двучлена можно рассчитать по формуле (А+В ) х(А+В) =АхА+2хАхВ + ВхВ. В случае с возведением в квадрат числа A, последняя цифра которого 6, это число можно предтставить как А=В+1, где В - число, которое на 1 меньше числа А, поэтому его последняя цифра - 5. В этом случае формулу можно представить в более простом виде (В+1) х(B+1) =ВхВ+2хВх1+1х1=ВхВ + 2хВ+1. Пусть для примера это число будет 16. Решение 16 х16=15 х15+2х15 х1+1х1=225+30+1=256Устное правило: для того, чтобы найти квадрат числа, заканчивающегося на 6: нужно предыдущее число возвести в квадрат, добавить два раза предыдущее число и добавить 1.

#4

Как возвести в квадрат числа от 11 до 29. Для возведения в квадрат чисел от 11 до 19, нужно к исходному числу добавить число единиц, получившийся результат умножить на 10 и приписать справа возведенное в квадрат число единиц. Пример. Возвести в квадрат 13. Число единиц в этом числе – 3. Далеетребуется вычислить промежуточное число 13+3=16. Затем умножить его на 10. Получается 160. Квадрат числа единиц 3х3=9. Итоговый результат 169. Для чисел третьего десятка применяется аналогичный алгоритм, только умножать нужно на 20 и квадрат единиц прибавлять, а не приписывать. Пример. Вычислить квадрат числа 24. Находится число единиц – 4. Вычисляется промежуточное число – 24+4=28. После умножения на 20 получается 560. Квадрат числа единиц 4х4=16. Итоговый результат 560+16=576.

#5

Как возвести в квадрат числа от 40 до 60. Алгоритм достаточно прост. Сначала нужно найти, насколько данное число больше или меньше середины диапазона числа 50. К полученному результату добавить (если число больше 50) или вычесть (если число меньше 50) 25. Полученную сумму (или разность) умножить на 100. К полученному результату добавить квадрат разности между числом, квадрат которого нужно найти, и числом 50. Пример: нужно найти квадрат числа 46. Разность 50-46=4.5-4=1.1х100=0.4х4=6.0+16=2116. Итог: 46х46=2116.

#6

Еще один прием как возвести в квадрат числа от 40 до 60. Для того, чтобы вычислить квадрат числа от 40 до 49, необходимо число единиц увеличить на 15, полученный результат умножить на 100, справа от него приписать квадрат разности между последней цифрой заданного числа и 10. Пример. Вычислить квадрат числа 42. Число единиц этого числа - 2. Добавляется 15: 2+15=17. Находится разность этого же числа единиц и 10. Она равна 8. Возводится в квадрат: 8х8=64. Число 64 приписывается справа к предыдущему результату 17. Получается итоговое число 1764. Если число находится в диапазоне от 51 до 59, то для возведения его в квадрат используется тот же алгоритм, только к числу единиц нужно прибавлять 25.

#7

Как возводить в квадрат в уме любое двузначное число. Если человек знает, как возводить в квадрат однозначные числа, другими словами - знает таблицу умножения, то у него не возникнет проблем при вычислении квадратов двузначных чисел. Пример. Нужно возвести двузначное число 36 в квадрат . Это число умножается на количество своих десятков. 36х3=8. Далее нужно найти произведение цифр числа: 3х6=18. Затем сложить оба результата. 108+18=126. Следующий шаг: нужно возвести в квадрат единицы исходного числа: 6х6=36. В полученном произведении определяется количество десятков – 3 и добавляется к предыдущему результату: 126+3=129. И последний шаг. Справа от полученного результата приписывается количество единиц исходного числа, в данном примере - 6. Конечный результат – число 1296.

#8

Существует множество способов как возводить в квадрат различные числа. Некоторые из приведенных алгоритмов достаточно простые, некоторые – достаочно громоздкие и на первый взгляд непонятные. Многими из них люди пользуются веками. Каждый человек может сам разработать свои собственные более понятные и интересные алгоритмы. Но если есть проблемы с устным счетом или возникли другие трудности – придется привлечь технические средства.

uznay-kak.ru

Два способа, как возвести в квадрат в Excel

Когда дело доходит до серьезных математических вычислений, то чаще всего в выражении присутствует множество чисел, возведенных в квадрат. В специализированном программном обеспечении данное написание выполняется зачастую проще простого, так как есть соответствующие инструменты для этого. Однако табличный редактор Excel не имеет на панели инструментов отдельной кнопки для возведения того или иного числа в квадрат. Несмотря на это, способы, как возвести в квадрат в Excel, все же есть.

Способы возведения числа в квадрат

Из школьных уроков математики мы знаем, что квадрат – это число, умноженное само на себя, то есть квадрат числа 2 будет равняться 4, а числа 5 – 25. Для выполнения таких вычислений в Excel можно воспользоваться двумя способами. Первый подразумевает использование специальной формулы, где перед степенью устанавливается символ «^». Второй же задействует специальную функцию, которая так и называется – "Степень". Рассмотрим, как возвести в квадрат в Excel непосредственно на примерах.

Способ 1: с помощью формулы

Проще всего возвести число в квадрат с помощью специальной функции. Ее синтаксис имеет следующий вид:

=n^2,

где: n – это число, которое нужно возвести в квадрат; ^2 – степень, в которую необходимо возвести число.

Разберем конкретный пример. Допустим, вам необходимо возвести в квадрат число 5, для этого выполните следующие действия:

  1. Установите курсор в ячейку, в которой предполагается делать вычисления.
  2. Поставьте знак «=».
  3. Введите число, которое нужно возвести в квадрат, в нашем примере это 5.
  4. После него напишите степень – «^2».
  5. Нажмите Enter.
как возвести в квадрат в excel

Сразу после этого число автоматически возводится в квадрат. К слову, вместо указания непосредственно самого числа, вы можете указать ячейку с ним. В рассмотренном примере формула будет выглядеть так: «=С4^2»

Способ 2: с помощью функции "Степень"

Самоучитель Excel предлагает использовать специальную функцию "Степень". Ей, к слову, очень просто пользоваться, хоть она и подразумевает выполнение большего числа действий, чем в предыдущем способе:

  1. Установите курсор в ту ячейку, где предполагается делать вычисления.
  2. Нажмите на кнопку «Вставить функцию».
  3. В окне Мастера функций выберите категорию «Математические».
  4. Из списка функций выберите «Степень».
  5. Нажмите «ОК».
excel самоучитель

Появится окно с аргументами выбранной функции. Как видим, в нем всего два раздела: «Число» и «Степень». В первую графу впишите число, которое хотите возвести в степень. Кстати, вместо этого вы можете указать ячейку, в которой находится число. Во второе поле введите цифру «2», так как перед нами стоит задача возведения числа в квадрат. После этого нажмите кнопку «ОК».

Вот так просто можно возвести число в квадрат. Теперь вы знаете, как минимум, два способа выполнения этой операции.

fb.ru

Таблица Брадиса - КВАДРАТЫ , ВОЗВЕДЕНИЕ В КВАДРАТ

Квадраты, возведение числа в квадрат (Таблица Брадиса 3)

Таблица Брадиса 3 служит для возведения в квадрат. Каждая её страница имеет столбец нумерации строк, десять столбцов квадратов, и девять столбцов поправок. Поправки выражены в единицах разряда последней цифры и набраны курсивом.

Чтобы возвести в квадрат трёхзначное число, заключённое между 1 и 10, разыскивают строку, номер которой совпадает с двумя первыми цифрами числа, и столбец квадратов, номер которого одинаков с третьей его цифрой. В пересечении находят искомый квадрат, округлённый до четырёх цифр.

Примеры:

2,862 = 8,180 (двадцать восьмая строка, шестой столбец квадратов).

7,082 = 50,13 (семидесятая строка, восьмой столбец).

9,42 = 9,402 = 88,36 (девяносто четвертая строка, кулевой столбец).

 

Чтобы возвести в квадрат четырёхзначное число, заключённое между 1 и 10, берут квадрат числа, образованного первыми тремя его цифрами, и прибавляют поправку на четвёртую цифру, если эта последняя не больше 5. Если же она больше 5, берут следующий по порядку табличный квадрат и вычитают поправку на дополнение четвёртой цифры до 10.

Примеры:

2,8632 = 8,197 (к квадрату 2,86, ранному 8,180, прибавлена поправка на 3, равная 17).

4,5282 = 20,50 (от квадрата 4,53, равного 20,52, отнята поправка па 2, равная 2).

 

Чтобы возвести в квадрат число, меньшее I или большее 10, его предверитедыю пред­ставляют в виде произведения числа, заключенного между 1 и 10, на степень 10 с целым положительным или отрицательным показателем, и возводят в квадрат оба сомножителя порознь (первый — посредством таблицы, второй — в уме). 

Примеры:

80822 = (8.082-103)2 = 8,0822•(103)=65,32•106 =6532000

 

При перенесении запятой в числе N на одно место запятая в числе N2 переносится на два места

N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1,0 1,000 1,020 1,040 1,061 1,082 1,103 1,124 1,145 1,166 1,188 2 4 6 8 10 13 15 17 19
1,1 1,210 1,232 1,254 1,277 1,300 1,323 1,346 1,369 1,392 1,416 2 5 7 9 11 14 16 18 21
1,2 1,440 1,464 1,488 1,513 1,538 1,563 1,588 1,613 1,638 1,664 2 5 7 10 12 15 17 20 22
1,3 1,690 1,716 1,742 1,769 1,796 1,823 1,850 1,877 1,904 1,932 3 5 8 12 13 16 19 22 24
1,4 1,960 1,988 2,016 2,045 2,074 2,103 2,132 2,161 2,190 2,220 3 6 9 12 14 17 20 23 26
                    
1,5 2,250 2,280 2,310 2,341 2,372 2,403 2,434 2,465 2,496 2,528 3 6 9 12 15 19 22 25 28
1,6 2,560 2,592 2,624 2,657 2,690 2,723 2,756 2,789 2,822 2,856 3 7 10 13 16 20 23 26 30
1,7 2,890 2,924 2,958 2,993 3,028 3,063 3,098 3,133 3,168 3,204 3 7 10 14 17 21 24 28 31
1,8 3,240 3,276 3,312 3,349 3,386 3,423 3,460 3,497 3,534 3,572 4 7 11 15 18 22 26 30 33
1,9 3,610 3,648 3,686 3,725 3,764 3,803 3,842 3,881 3,920 3,960 4 8 12 16 19 23 27 31 35
                    
2,0 4,000 4,040 4,080 4,121 4,162 4,203 4,244 4,285 4,326 4,368 4 8 12 16 20 25 29 33 37
2,1 4,410 4,452 4,494 4,537 4,580 4,623 4,666 4,709 4,752 4,796 4 9 13 17 21 26 30 34 39
2,2 4,840 4,884 4,928 4,973 5,018 5,063 5,108 5,153 5,198 5,244 4 9 13 18 22 27 31 36 40
2,3 5,290 5,336 5,382 5,429 5,476 5,523 5,570 5,617 5,664 5,712 5 9 14 19 23 28 33 38 42
2,4 5,760 5,808 5,856 5,905 5,954 6,003 6,052 6,101 6,150 6,200 5 10 15 20 24 29 34 39 44
                    
2,5 6,250 6,300 6,350 6,401 6,452 6,503 6,554 6,605 6,656 6,708 5 10 15 20 25 31 36 41 46
2,6 6,760 6,812 6,864 6,917 6,970 7,023 7,076 7,129 7,182 7,236 5 11 16 21 26 32 37 42 48
2,7 7,290 7,344 7,398 7,453 7,508 7,563 7,618 7,673 7,728 7,784 5 11 16 22 27 33 38 44 49
2,8 7,840 7,896 7,952 8,009 8,066 8,123 8,180 8,237 8,294 8,352 6 11 17 23 28 34 40 46 51
2,9 8,410 8,468 8,526 8,585 8,644 8,703 8,762 8,821 8,880 8,940 6 12 18 24 29 35 41 47 53
                    
3,0 9,000 9,060 9,120 9,181 9,242 9,303 9,364 9,425 9,486 9,548 6 12 18 24 30 37 43 49 55
3,1 9,610 9,672 9,734 9,797 9,860 9,923 9,986       6 13 19 25 31 38 44 50 56
3,1               10,05 10,11 10,18 1 1 2 3 3 4 5 5 6
3,2 10,24 10,30 10,37 10,43 10,50 10,56 10,63 10,69 10,76 10,82 1 1 2 3 3 4 5 5 6
3,3 10,89 10,96 11,02 11,09 11,16 11,22 11,29 11,36 11,42 11,49 1 1 2 3 3 4 5 5 6
3,4 11,56 11,63 11,70 11,76 11,83 11,90 11,97 12,04 12,11 12,18 1 1 2 3 3 4 5 6 6
                    
3,5 12,25 12,32 12,39 12,46 12,53 12,60 12,67 12,74 12,82 12,89 1 1 2 3 4 4 5 6 6
3,6 12,96 13,03 13,10 13,18 13,25 13,32 13,40 13,47 13,54 13,62 1 1 2 3 4 4 5 6 7
3.7 13,69 13,76 13,84 13,91 13,99 14,06 14,14 14,21 14,29 14,36 1 2 2 3 4 5 5 6 7
3,8 14,44 14,52 14,59 14,67 14,75 14,82 14,90 14,98 15,05 15,13 1 2 2 3 4 5 5 6 7
3,9 15,21 15,29 15,37 15,44 15,52 15,60 15,68 15,76 15,84 15,92 1 2 2 3 4 5 6 6 7
                    
4,0 16,00 16,08 16,16 16,24 16,32 16,40 16,48 16,56 16,65 16,73 1 2 2 3 4 5 6 6 7
4,1 16,81 16,89 16,97 17,06 17,14 17,22 17,31 17,39 17,47 17,56 1 2 2 3 5 5 6 7 7
4,2 17,64 17,72 17,81 17,89 17,98 18,06 18,15 18,23 18,32 18,40 1 2 3 3 4 5 6 7 8
4,3 18,49 18,58 18,66 18,75 18,84 18,92 19,01 19,10 19,18 19,27 1 2 3 3 4 5 7 7 8
4,4 19,36 19,45 19,54 19.62 19,71 19,80 19,89 19,98 20,07 20,16 1 2 3 4 5 5 6 7 8
N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9

При перенесении запятой в числе N на одно место запятая в числе N2 переносится на два места

N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9
4,5 20,25 20,34 20,43 20,52 20,61 20,70 20,79 20,88 20,98 21,07 1 2 3 4 5 5 6 7 8
4,6 21,16 21,25 21,34 21,44 21,53 21,62 21,72 21,81 21,90 22,00 1 2 3 4 5 6 7 7 8
4,7 22,09 22,18 22,28 22,37 22,47 22,56 22,66 22,75 22,85 22,94 1 2 3 4 5 6 7 8 9
4,8 23,04 23,14 23,23 23,33 23,43 23,52 23,62 23,72 23,81 23,91 1 2 3 4 5 6 7 8 9
4,9 24,01 24,11 24,21 24,30 24,40 24,50 24,60 24,70 24,80 24,90 1 2 3 4 5 6 7 8 9
                    
5,0 25,00 25,10 25,20 25,30 25,40 25,50 25,60 25,70 25,81 25,91 1 2 3 4 5 6 7 8 9
5,1 26,01 26,11 26,21 26,32 26,42 26,52 26,63 26,73 26,83 26,94 1 2 3 4 5 6 7 8 9
5,2 27,04 27,14 27,25 27,35 27,46 27,56 27,67 27,77 27,88 27,98 1 2 3 4 5 6 7 8 9
5,3 28,09 28,20 28,30 28,41 28,52 28,62 28,73 28,84 28,94 29,05 1 2 3 4 5 6 7 9 10
5,4 29,16 29,27 29,38 29,48 29,59 29,70 29,81 29,92 30,03 30,14 1 2 3 4 6 7 8 9 10
                    
5,5 30,25 30,36 30,47 30,58 30,69 30,80 30,91 31,02 31,14 31,25 1 2 3 4 6 7 8 9 10
5,6 31,36 31,47 31,58 31,70 31,81 31,92 32,04 32,15 32,26 32,38 1 2 3 5 6 7 8 9 10
5,7 32,49 32,60 32,72 32,83 32,95 33,06 33,18 33,29 33,41 33,52 1 2 3 5 6 7 8 9 10
5,8 33,64 33,76 33,87 33,99 34,11 34,22 34,34 34,46 34,57 34,69 1 2 4 5 6 7 8 9 11
5,9 34,81 34,93 35,05 35,16 35,28 35,40 35,52 35,64 35,76 35,88 1 2 4 5 6 7 8 10 11
                    
6,0 36,00 36,12 36,24 36,36 36,48 36,60 36,72 36,84 36,97 37,09 1 2 4 5 6 7 9 10 11
6,1 37,21 37,33 37,45 37,58 37,70 37,82 37,95 38,07 38,19 38,32 1 2 4 5 в 7 9 10 11
6,2 38,44 38,56 38,69 38,81 38,94 39,06 39,19 39,31 39,44 39,56 1 3 4 5 6 8 9 10 11
6,3 39,69 39,82 39,94 40,07 40,20 40,32 40,45 40,58 40,70 40,83 1 3 4 5 6 8 9 10 11
6,4 40,96 41,09 41,22 41,34 41,47 41,60 41,73 41,86 41,99 42,12 1 3 4 5 6 8 9 10 12
                    
6,5 42,25 42,38 42,51 42,64 42,77 42,90 43,03 43,16 43,30 43,43 1 3 4 5 7 8 9 10 12
6,6 43,56 43,69 43,82 43,96 44,09 44,22 44,36 44,49 44,62 44,76 1 3 4 5 7 8 9 11 12
6,7 44,89 45,02 45,16 45,29 45,43 45,56 45,70 45,83 45,97 46,10 1 3 4 5 7 8 9 11 12
6,8 46,24 46,38 46,51 46,65 46,79 46,92 47,06 47,20 47,33 47,47 1 3 4 5 7 8 10 11 12
6,9 47,61 47,75 47,89 48,02 48,16 48,30 48,44 48,58 48,72 48,86 1 3 4 6 7 8 10 11 13
                    
7,0 49,00 49,14 49,28 49,42 49,56 49,70 49,84 49,98 50,13 50,27 1 3 4 6 7 8 10 11 13
7,1 50,41 50,55 50,69 50,84 50,98 51,12 51,27 51,41 51,55 51,70 1 3 4 6 7 9 10 11 13
7,2 51,84 51,98 52,13 52,27 52,42 52,56 52,71 52,85 53,00 53,14 1 3 4 6 7 9 10 12 13
7,3 53,29 53,44 53,58 53,73 53,88 54,02 54,17 54,32 54,46 54,61 1 3 4 6 7 9 10 12 13
7,4 54,76 54,91 55,06 55,20 55,35 55,50 55,65 55,80 55,95 56,10 1 3 4 6 7 9 10 12 13
                    
7,5 56,25 56,40 56,55 56,70 56,85 57,00 57,15 57,30 57,46 57,61 2 3 5 6 8 9 11 12 14
7,6 57,76 57,91 58,06 58,22 58,37 58,52 58,68 58,83 58,98 59,14 2 3 5 6 8 9 11 12 14
7,7 59,29 59,44 59,60 59,75 59,91 60,06 60,22 60,37 60,53 60,68 2 3 5 6 8 9 11 12 14
7,8 60,84 61,00 61,15 61,31 61,47 61,62 61,78 61,94 62,09 62,25 2 3 5 6 8 9 11 13 14
7,9 62,41 62,57 62,73 62,88 63,04 63,20 63,36 63,52 63,68 63,84 2 3 5 6 8 10 11 13 14
                    
8,0 64,00 64,16 64,32 64,48 64,64 64,80 64,96 65,12 65,29 65,45 2 3 5 6 8 10 11 13 14
8,1 65,61 65,77 65,93 66,10 66,26 66,42 66,59 66,75 66,91 67,08 2 3 5 7 8 10 11 13 15
8,2 67,24 67,40 67,57 67,73 67,90 68,06 68,23 68,39 68,56 68,72 2 3 5 7 8 10 12 13 15
8,3 68,89 69,06 69,22 69,39 69,56 69,72 69,89 70,06 70,22 70,39 2 3 5 7 8 10 12 13 15
8,4 70,56 70,73 70,90 71,06 71,23 71,40 71,57 71,74 71,91 72,08 2 3 5 7 8 10 12 14 15
N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9

 

При перенесении запятой в числе N на одно место запятая в числе N2 переносится на два места

N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9
8,5 72,25 72,42 72,59 72,76 72,93 73,10 73,27 73,44 73,62 73,79 2 3 5 7 9 10 12 14 15
8,6 73,96 74,13 74,30 74,48 74,65 74,82 75,00 75,17 75,34 75,52 2 3 5 7 9 10 12 14 16
8,7 75,69 75,86 76,04 76,21 76,39 76,56 76,74 76,91 77,09 77,26 2 4 5 7 9 11 12 14 16
8,8 77,44 77,62 77,79 77,97 78,15 78,32 78,50 78,68 78,85 79,03 2 4 5 7 9 11 12 14 16
8,9 79,21 79,39 79,57 79,74 79,92 80,10 80,28 80,46 80,64 80,82 2 4 5 7 9 11 13 14 16
                    
9,0 81,00 81,18 81,36 81,54 81,72 81,90 82,03 82,26 82,45 82,63 2 4 5 7 9 11 13 14 16
9,1 32,81 82,99 83,17 83,36 83,54 83,72 83,91 84,09 84,27 84,46 2 4 5 7 9 11 13 15 16
9,2 84,64 84,82 85,01 85,19 85,38 85,56 85,75 85,93 86,12 86,30 2 4 6 7 9 11 13 15 17
9,3 86,49 86,68 86,86 87,05 87,24 87,42 87,61 87,80 87,98 88,17 2 4 6 7 9 11 13 15 17
9,4 88,36 88,55 88,74 88,92 89,11 89,30 89,49 89 68 89,87 90,06 2 4 6 8 9 11 13 15 17
                    
9,5 90,25 90,44 90,63 90,82 91,01 91,20 91,39 91,58 91,78 91,97 2 4 6 8 10 11 13 15 17
9,6 92,16 92,35 92,54 92,74 92,93 93,12 93,32 93,51 93,70 93,90 2 4 6 8 10 12 14 15 17
9,7 94,09 94,28 94,48 94,67 94,87 95,06 95,26 95.45 95,65 95,84 2 4 6 8 10 12 14 16 18
9,8 96,14 96,24 96,43 96,63 96,83 97,02 97,22 97,42 97,61 97,81 2 4 6 8 10 !2 14 16 18
9,9 98,01 98,21 98,41 98,60 08,80 99,00 99,20 99.40 99,60 99,80 2 4 6 8 10 12 14 16 18
N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9

_______________

Источник информации: Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы: Для средней школы. / В.М. Брадис . - 57-е изд., - М.: Просвещение, 1990.

infotables.ru

Быстрое возведение чисел от 1 до 100 в квадрат

Вдохновленный этой статьей, решил поделиться с вами способом быстрого возведения в квадрат. Возведение в квадрат более редкая операция, нежели умножение чисел, но под нее существуют довольно интересные правила.

Быстрое возведение чисел от 1 до 100 в квадрат*квадраты до сотни

Для того, чтобы бездумно не возводить в квадрат по формуле все числа, нужно максимально упростить себе задачу следующими правилами.

Правило 1 (отсекает 10 чисел)

Для чисел, оканчивающихся на 0.Если число заканчивается на 0, умножить его не сложнее, чем однозначное число. Стоит лишь дописать пару нулей. 70 * 70 = 4900.В таблице отмечены красным.

Правило 2 (отсекает 10 чисел)

Для чисел, оканчивающихся на 5.Чтобы возвести в квадрат двузначное число, оканчивающееся на 5, нужно умножить первую цифру (x) на (x+1) и дописать к результату “25”.75 * 75 = 7 * 8 = 56 … 25 = 5625.В таблице отмечены зеленым.

Правило 3 (отсекает 8 чисел)

Для чисел от 40 до 50.XX * XX = 1500 + 100 * вторую цифру + (10 — вторая цифра)^2Достаточно трудно, верно? Давайте разберем пример:43 * 43 = 1500 + 100 * 3 + (10 — 3)^2 = 1500 + 300 + 49 = 1849.В таблице отмечены светло-оранжевым.

Правило 4 (отсекает 8 чисел)

Для чисел от 50 до 60.XX * XX = 2500 + 100 * вторую цифру + (вторая цифра)^2Тоже достаточно трудно для восприятия. Давайте разберем пример:53 * 53 = 2500 + 100 * 3 + 3^2 = 2500 + 300 + 9 = 2809.В таблице отмечены темно-оранжевым.

Правило 5 (отсекает 8 чисел)

Для чисел от 90 до 100.XX * XX = 8000+ 200 * вторую цифру + (10 — вторая цифра)^2Похоже на правило 3, но с другими коэффициентами. Давайте разберем пример:93 * 93 = 8000 + 200 * 3 + (10 — 3)^2 = 8000 + 600 + 49 = 8649.В таблице отмечены темно-темно-оранжевым.

Правило №6 (отсекает 32 числа)

Необходимо запомнить квадраты чисел до 40. Звучит дико и трудно, но на самом деле до 20 большинство людей знают квадраты. 25, 30, 35 и 40 поддаются формулам. И остается лишь 16 пар чисел. Их уже можно запомнить при помощи мнемоники (о которой я также хочу рассказать позднее) или любыми другими способами. Как таблицу умножения :) В таблице отмечены синим.

Вы можете запомнить все правила, а можете запомнить выборочно, в любом случае все числа от 1 до 100 подчиняются двум формулам. Правила же помогут, не используя эти формулы, быстрее посчитать больше 70% вариантов. Вот эти две формулы:

Формулы (осталось 24 цифры)

Для цифр от 25 до 50XX * XX = 100(XX — 25) + (50 — XX)^2Например:37 * 37 = 100(37 — 25) + (50 — 37)^2 = 1200 + 169 = 1369

Для цифр от 50 до 100

XX * XX = 200(XX - 25) + (100 - XX)^2

Например:67 * 67 = 200(67 — 50) + (100 — 67)^2 = 3400 + 1089 = 4489

Конечно не стоит забывать про обычную формулу разложения квадрата суммы (частный случай бинома Ньютона):(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.56^2 = 50^2 + 2*50*6 + 6*2 = 2500 + 600 + 36 = 3136.

Возведение в квадрат, возможно, не самая полезная в хозяйстве вещь. Не сразу вспомнишь случай, когда может понадобиться квадрат числа. Но умение быстро оперировать числами, применять подходящие правила под каждое из чисел отлично развивает память и «вычислительные способности» вашего мозга.

Кстати, думаю, все читатели хабры знают, что 64^2 = 4096, а 32^2 = 1024. Многие квадраты чисел запоминаются на ассоциативном уровне. Например, я легко запомнил 88^2 = 7744, из-за одинаковых чисел. У каждого наверняка найдутся свои особенности.

Две уникальные формулы я впервые нашел в книге «13 steps to mentalism», которая мало связана с математикой. Дело в том, что раньше (возможно, и сейчас) уникальные вычислительные способности были одним из номеров в сценической магии: фокусник рассказывал байку о том, как он получил сверхспособности и в доказательство этого моментально возводит числа до сотни в квадрат. В книге так же указаны способы возведения в куб, способы вычитания корней и кубических корней.

Если тема быстрого счета интересна — буду писать еще.Замечания об ошибках и правки прошу писать в лс, заранее спасибо.

Автор: LysoSutriN

Источник

www.pvsm.ru