Как найти высоту прямоугольной пирамиды. Как найти высоту пирамиды


Высота пирамиды. Как ее найти?

Пирамида - это многогранник, в основании которого лежит многоугольник. Все грани в свою очередь образуют треугольники, которые сходятся в одной вершине. Пирамиды бывают треугольными, четырехугольными и так далее. Для того чтобы определить, какая пирамида перед вами, достаточно посчитать количество углов в ее основании. Определение "высота пирамиды" очень часто встречается в задачах по геометрии в школьной программе. В статье попробуем рассмотреть разные способы ее нахождения.высота пирамиды

Части пирамиды

Каждая пирамида состоит из следующих элементов:

  • боковые грани, которые имеют по три угла и сходятся в вершине;
  • апофема представляет собой высоту, которая опускается из ее вершины;
  • вершина пирамиды – это точка, которая соединяет боковые ребра, но при этом не лежит в плоскости основания;
  • основание – это многоугольник, на котором не лежит вершина;
  • высота пирамиды представляет собой отрезок, который пересекает вершину пирамиды и образует с ее основанием прямой угол.

Как найти высоту пирамиды, если известен ее объем

высота треугольной пирамиды

Через формулу объема пирамиды V = (S*h)/3 (в формуле V - объем, S – площадь основания, h - высота пирамиды) находим, что h = (3*V)/S. Для закрепления материала давайте сразу же решим задачу. В треугольной пирамиде площадь основания равна 50 см2, тогда как ее объем составляет 125 см3. Неизвестна высота треугольной пирамиды, которую нам и необходимо найти. Здесь все просто: вставляем данные в нашу формулу. Получаем h = (3*125)/50 = 7,5 см.

Как найти высоту пирамиды, если известна длина диагонали и ее ребра

Как мы помним, высота пирамиды образует с ее основанием прямой угол. А это значит что высота, ребро и половина диагонали вместе образуют прямоугольный треугольник. Многие, конечно же, помнят теорему Пифагора. Зная два измерения, третью величину найти будет несложно. Вспомним известную теорему a² = b² + c², где а – гипотенуза, а в нашем случае ребро пирамиды; b – первый катет или половина диагонали и с – соответственно, второй катет, или высота пирамиды. Из этой формулы c² = a² - b².

Теперь задачка: в правильной пирамиде диагональ равна 20 см, когда как длина ребра – 30 см. Необходимо найти высоту. Решаем: c² = 30² - 20² = 900-400 = 500.  Отсюда с = √ 500 = около 22,4.

Как найти высоту усеченной пирамиды

Она представляет собой многоугольник, который имеет сечение параллельно ее основанию. Высота усеченной пирамиды – это отрезок, который соединяет два ее основания. Высоту можно найти у правильной пирамиды, если будут известны длины диагоналей обоих оснований, а также ребро пирамиды. Пусть диагональ большего основания равна d1, в то время как диагональ меньшего основания – d2, а ребро имеет длину – l. Чтобы найти высоту, можно с двух верхних противоположных точек диаграммы опустить высоты на ее основание. Мы видим, что у нас получились два прямоугольных треугольника, остается найти длины их катетов. Для этого из большей диагонали вычитаем меньшую и делим на 2. Так мы найдем один катет: а = (d1-d2)/2. После чего по теореме Пифагора нам остается лишь найти второй катет, который и является высотой пирамиды. 

высота усеченной пирамиды

Теперь рассмотрим все это дело на практике. Перед нами задача. Усеченная пирамида имеет в основании квадрат, длина диагонали большего основания равняется 10 см, в то время как меньшего – 6 см, а ребро равняется 4 см. Требуется найти высоту. Для начала находим один катет: а = (10-6)/2 = 2 см. Один катет равен 2 см, а гипотенуза – 4 см. Получается, что второй катет или высота будет равна 16-4 = 12, то есть h = √12 = около 3,5 см.

fb.ru

Как найти высоту пирамиды?

Треугольная пирамида - это пирамида, в основе которой находится треугольник. Высота этой пирамиды - это перпендикуляр, который опущен из вершины пирамиды на ее основания.

Нахождение высоты пирамиды

Как найти высоту пирамиды? Очень просто! Для нахождения высоты любой треугольной пирамиды можно воспользоваться формулой объема: V = (1/3)Sh, где S - это площадь основания, V - объем пирамиды, h - ее высота. Из этой формулы вывести формулу высоты: для нахождения высоты треугольной пирамиды, нужно умножить объем пирамиды на 3, а потом поделить получившееся значение на площадь основания, это будет: h = (3V)/S. Поскольку основание треугольной пирамиды - это треугольник, можно воспользоваться формулой подсчета площади треугольника. Если нам известны: площадь треугольника S и его сторона z, то по формуле площади S=(1/2)γh: h = (2S)/γ, где h - это высота пирамиды, γ - это ребро треугольника; угол между сторонами треугольника и сами две стороны, то по такой формуле: S = (1/2)γφsinQ, где γ, φ - это стороны треугольника, находим площадь треугольника. Значение синуса угла Q нужно посмотреть в таблице синусов, которая есть в Интернете. Далее подставляем значение площади в формулу высоты: h = (2S)/γ. Если в задании требуется вычислить высоту треугольной пирамиды, то объем пирамиды уже известен.

Правильная треугольная пирамида

Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, то есть пирамиды, в которой все грани - это равносторонние треугольники, зная величину ребра γ. В этом случае ребра пирамиды - это стороны равносторонних треугольников. Высота правильной треугольной пирамиды будет: h = γ√(2/3), где γ - это ребро равностороннего треугольника, h - это высота пирамиды.  Если площадь основания (S) неизвестна, а даны лишь: длина ребра (γ) и объем (V) многогранника, то необходимую переменную в формуле из прежнего шага нужно заменить ее эквивалентом, который выражен через длину ребра. Площадь треугольника (правильного) равна 1/4 от произведения длины стороны этого треугольника, возведенную

elhow.ru

Как найти высоту в треугольной пирамиде

Треугольной называется пирамида, в основании которой лежит треугольник. Высотой такой пирамиды будет перпендикуляр, опущенный из вершины на плоскость ее основания. Для того, чтобы найти высоту правильной треугольной пирамиды, то есть такой пирамиды, все грани которой являются равносторонними треугольниками, необходимо знать длину ребра пирамиды (а).

Вам понадобится

  • Ручка, бумага, калькулятор

Инструкция

  • В данном случае ребрами пирамиды будут стороны этих равносторонних треугольников. Высотой правильной треугольной пирамиды будет длина ребра пирамиды, помноженная на корень из двух третей : h=а√2/3.
  • Для вычисления высоты любой другой треугольной пирамиды можно воспользоваться формулой объема: V = 1/3Sh, где V - это объем пирамиды, S - это площадь основания, а h - это высота. Из формулы объема выводим формулу высоты: чтобы найти высоту треугольной пирамиды, необходимо умножить объем пирамиды на 3 и поделить полученное значение на площадь основания: h=3V/S.
  • Поскольку основанием треугольной пирамиды служит треугольник, воспользуемся формулой расчета площади треугольника. Если известна длина одной стороны этого треугольника (а) и высота (h), опущенная на эту сторону, то рассчитываем площадь, умножив длину стороны на длину высоты и поделив полученное значение на 2: S=1/2ah. Если известны две стороны треугольника (a и b) и угол между ними (C), то пользуемся формулой: S=1/2absinC. Значение синуса угла можно посмотреть в таблице синусов, которую легко найти в Интернете.
  • Как правило, если в задаче требуется найти высоту треугольной пирамиды, объем этой пирамиды известен. Поэтому, после того, как найдена площадь основания пирамиды, остается только умножить объем на 3 и поделить на площадь основания, чтобы получить высоту треугольной пирамиды.

completerepair.ru

Как найти высоту правильной треугольной пирамиды?

Как найти высоту правильной треугольной пирамиды?

  • В данном случае следует воспользоваться следующей формулой

    ,

    где a - длина стороны правильной треугольной пирамиды.

    Кроме того, высоту можно высчитать обратным счтом от объма благодаря данной формуле.

    Предлагаю ознакомиться с решением задачи, где необходимо определить высоту, основываясь на известных показателях, а именно значения стороны и объма.

  • Высоту правильной треугольной пирамиды (она же тетраэдр) можно вывести из объема, который находится по формуле.

    Формула звучит так: объем тетраэдра равен отношению произведения высоты пирамиды и квадрат длин сторон основания пирамиды к произведению 4 и квадратного корня из 3.

    Исходя из этой формулу, строим формулу высоты тетраэдра:

    Высота тетраэдра равна произведению длины стороны основания и квадратного корня из 2/3

  • Не могу согласится с приведенными другими авторами формулами. Совершенно не понятно как находить высоту пирамиды используя только одну боковую грань. Неужели размер основания не имеет значения? Должно быть по меньшей мере две переменных. Покажу как решается эта задача на мой взгляд.

    В основании у нас правильный треугольник и его центр находится на 2/3 расстояния от любой вершины по медиане (высоте, гипотенузе) (аксиома планиметрии). Следовательно по теореме Пифагора находим длину этой высоты и берем от нее 2/3. Вот рисунок:

    На нем МС - искомый катет, ОС нужный нам отрезок. Теперь переходим непосредственно к высоте. Обзовем ее DO. Она опять таки будет являться катетом прямоугольного треугольника, гипотенуза которого - боковое ребро пирамиды, а второй катет уже найденный нами отрезок ОС. Опять применяем теорему Пифагора и находим высоту. Рисунок:

    Единой формулы нахождения высоты такой пирамиды нет, хотя задача простая. Следует лишь знать длину стороны основания и длину бокового ребра.

  • Формула - h=а2/3 (ребра пирамиды - это стороны равносторонних треугольников, а высотой получается будет длина ребра пирамиды, умноженная на корень из двух третей).

    **

    Формула объема: V = 1/3Sh, из нее выводим формулу для высоты: h=3V/S (V - объем, S - площадь основания, h - высота).

    **

    Если знаете объем пирамиды. Находим площадь основания, после чего умножаем объем на три и разделяем на площадь основания, в результате получаем высоту пирамиды.

  • Как найти высоту правильной треугольной пирамиды?

    Насколько я помню это программа обучения 9го класса. Вот только тогда за мной бегало столько парней, что я просто не успевала учить геометрию. Но даже я что-то запомнила, сейчас сформулирую:

    Формула объема правильной треугольной пирамиды:

  • Если основанием нашей пирамиды является любой треугольник, то такая пирамида называется треугольной. Если грани пирамиды являются равносторонними треугольниками, то такая пирамида называется правильной.

    Высота правильной пирамиды равна длине ребра, перемноженную на корень из 2/3.

  • Правильную треугольную пирамиду еще называют тетраэдром.

    Если в условиях дана площадь тетраэдра S, и его объем, тогда сможете найти высоту пирамиды по формуле: h = 3 х V/S.

    Если это сложная задача, к примеру, тетраэдр вписан в сферу, и известен ее радиус, мы легко сможем найти высоту пирамиды по формуле: h = 4 х r/3

  • У правильной треугольной пирамиды все грани равны. Чтобы узнать высоту такой пирамиды нужно воспользоваться специальной для этого формулой , в которой фигурируют высота ребра, которая обозначается quot;yquot; и 2/3.

    Зная две эти величины мы можем по формуле высчитать высоту пирамиды, которая обозначается буквой quot;hquot;.

    Вот так выглядит эта формула: h=y2/3

  • Правильной треугольной пирамидой является пирамида, в основании которого лежит правильный треугольник. Соответственно, вершина опускается в центр основания этой пирамиды.

    Формула для нахождения объема правильной пирамиды выглядит так.

    Пляшем от этой формулы и получаем формулу нахождения высоты треугольной пирамиды.

  • info-4all.ru

    Как найти высоту прямоугольной пирамиды

    Пирамида - это многогранник, в основании которого лежит многоугольник, а остальные грани - треугольники, сходящиеся в общей вершине. Решение задач с пирамидами во многом зависит от вида пирамиды. У прямоугольной пирамиды одно из боковых ребер перпендикулярно основанию, это ребро и есть высота пирамиды.

    Инструкция

    • Определите вид пирамиды по ее основанию. Если в основании лежит треугольник, то это треугольная прямоугольная пирамида. Если четырехугольник — четырёхугольная и так далее. В классических задачах встречаются пирамиды, основание которой либо квадрат, либо равносторонние/равнобедренные/прямоугольные треугольники.
    • Если в основании пирамиды лежит квадрат, найдите высоту (она же — ребро пирамиды) через прямоугольный треугольник. Помните — в стереометрии на рисунках квадрат выглядит как параллелограмм. Например, дана прямоугольная пирамида SABCD с вершиной S, которая проецируется в вершину квадрата B. Ребро SB перпендикулярно плоскости основания. Рёбра SA и SC равны между собой и перпендикулярны сторонам AD и DC соответственно.
    • Если в задаче даны рёбра AB и SA, найдите высоту SB из прямоугольного ΔSAB по теореме Пифагора. Для этого из квадрата SA вычтите квадрат AB. Извлеките корень. Высота SB найдена.
    • Если не дана сторона квадрата AB, а, например, диагональ, то помните формулу: d=a·√2. Также выражайте сторону квадрата из формул площади, периметра, вписанных и описанных радиусов, если это дано в условии.
    • Если в задаче дано ребро AB и ∠SAB, используйте тангенс: tg∠SAB=SB/AB. Выразите из формулы высоту, подставьте числовые значения, тем самым найдя SB.
    • Если дан объём и сторона основания, найдите высоту, выразив её из формулы: V=⅓·S·h. S — площадь основания, то есть AB2; h — высота пирамиды, т. е. SB.
    • Если в основании пирамиды SABC (S проецируется в В, как в п.2, т. е. SB – высота) лежит треугольник и указаны данные для площади (сторона у равностороннего треугольника, сторона и основание или сторона и углы у равнобедренного, катеты у прямоугольного), находите высоту из формулы объёма: V=⅓·S·h. Вместо S подставьте формулу площади треугольника в зависимости его вида, затем выразите h.
    • Если дана апофема SK грани CSA и сторона основания AB, найдите SB из прямоугольного треугольника SKB. Из квадрата SK вычтите квадрат KB, получите SB в квадрате. Извлеките корень и получите высоту.
    • Если дана апофема SK и угол между SK и KB (∠SKB), используйте функцию синуса. Отношение высоты SB к гипотенузе SK равно sin∠SKB. Выразите высоту и подставьте числовые значения.

    completerepair.ru

    Как найти высоту в правильной пирамиде

    Пирамида представляет собой многогранник, в основании которого лежит многоугольник, а грани его представляют собой треугольники, владеющие всеобщей вершиной. Для положительной пирамиды объективно то же определение, но в основании ее лежит положительный многоугольник. Под высотой пирамиды подразумевается отрезок, тот, что проведен от вершины пирамиды к основанию, и данный отрезок перпендикулярен ему. Обнаружить высоту в верной пирамиде дюже легко.

    Вам понадобится

    • В зависимости от обстановки, знать объем пирамиды, площадь боковых граней пирамиды, длину ребра, длину диаметра многоугольника в основании.

    Инструкция

    1. Одним из методов обнаружить высоту пирамиды, и не только верной — это выразить ее через объем пирамиды. Формула, по средствам которой дозволено узнать ее объем, выглядит так:V = (S*h)/3, где S — площадь всех боковых граней пирамиды в сумме, h — высота данной пирамиды.Тогда из этой формулы дозволено вывести иную, для нахождения высоты пирамиды:h = (3*V)/SК примеру, вестимо, что площадь боковых граней пирамиды 84 см?, а объем пирамиды равен 336 куб.см. Тогда обнаружить высоту дозволено так:h = (3*336)/84 = 12 смОтвет: высота данной пирамиды 12 см

    2. Рассматривая верную пирамиду, в основании которой лежит верный многоугольник, дозволено прийти к итогу, что треугольник, образованный высотой, половиной диагонали и одной из граней пирамиды, представляет из себя прямоугольный треугольник (скажем, это треугольник АEG на рисунке выше). Согласно теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов (a? = b? + c?). В случае с верной пирамидой, гипотенуза — это грань пирамиды, один из катетов — половина диагонали многоугольника в основании, а иной катет — высота пирамиды. В таком случае, зная длину грани и диагонали, дозволено вычислить и высоту . В качестве примера дозволено разглядеть треугольник AEG:AE? = EG?+GA?Отсель высоту пирамиды GA дозволено выразить так:GA = ?(AE?-EG?).

    3. Дабы было больше внятно, как находить высоту положительной пирамиды, дозволено разглядеть пример: в верной пирамиде длина грани 12 см, длина диагонали многоугольника в основании — 8 см. Исходя из этих данных, требуется обнаружить длину высоты этой пирамиды.Решение: 12? = 4? + c?, где с — незнакомый катет (высота) данной пирамиды (прямоугольного треугольника).144 = 16 + 128Таким образом, высота данной пирамиды ?128 либо, примерно, 11.3 см

    Пирамида – одна из самых необъяснимых фигур в геометрии. С ней объединяют потоки космической энергии, многие древние народы избирали именно эту форму для строительства своих культовых сооружений. Тем не менее, с точки зрения математики, пирамида – это каждого лишь многогранник, с многоугольником в основании, а гранями являются треугольники с всеобщей вершиной. Разглядим, как обнаружить площадь грани в пирамиде.

    Вам понадобится

    Инструкция

    1. Пирамиды бывают следующих типов: положительная (в основании — положительный многоугольник, а проекция вершины пирамиды на основание – его центр), произвольная (в основании лежит всякий многоугольник, а проекция вершины необязательно совпадает с его центром), прямоугольная (одно из боковых ребер составляет с основанием прямой угол) и усеченная. В зависимости от того, сколько сторон имеет многоугольник в основании пирамиды, ее называют 3-, четырех-, пяти либо, к примеру, десятиугольной.

    2. От того что боковая грань всякий пирамиды (помимо усеченной) — это треугольник, нахождение площади грани сводится к определению его площади. В усеченной пирамиде боковая грань – трапеция. Выходит, разберемся, как обнаружить площадь грани пирамиды в всяком отдельном случае.

    3. Для всех видов пирамид, помимо усеченной:Перемножьте длины основания треугольника и опущенной на него высоты из вершины пирамиды. Поделите полученное произведение на 2 – это и будет желанная площадь боковой грани пирамиды.

    4. Усеченная пирамидаСложите оба основания трапеции, являющейся гранью такой пирамиды. Поделите полученную сумму на два. Умножьте полученное значение на высоту грани -трапеции. Полученная в итоге величина – площадь боковой грани пирамиды данного типа.

    Видео по теме

    Полезный совет Площадь боковой поверхности и основания, периметр основания пирамиды и ее объем объединяют между собой определенные формулы. Это порой дает вероятность вычислить значения недостающих данных, нужных для определения площади грани в пирамиде.Объем всякий не усеченной пирамиды равен трети от произведения высоты пирамиды и площади основания. Для положительной пирамиды объективно: площадь боковой поверхности равна половине периметра основания умноженного на высоту одной из граней. При расчете объема усеченной пирамиды, взамен площади основания подставляется величина, равная сумме площадей верхнего, нижнего основания и квадратного корня из их произведения.

    Прямоугольной именуется пирамида, одно из ребер которой перпендикулярно ее основанию, то есть стоит под углом 90?. Это ребро является единовременно и высотой прямоугольной пирамиды. Формулу объема пирамиды впервой вывел Архимед.

    Вам понадобится

    • — ручка;
    • — бумага;
    • — калькулятор.

    Инструкция

    1. В прямоугольной пирамиде высотой будет ее ребро, которое стоит под углом 90? к основанию. Как водится, площадь основания прямоугольной пирамиды обозначают как S, а высоту, которая единовременно является ребром пирамиды , ? h. Тогда, дабы обнаружить объем этой пирамиды , нужно площадь ее основания умножить на высоту и поделить на 3. Таким образом, объем прямоугольной пирамиды вычисляется с подмогой формулы: V=(S*h)/3.

    2. Прочитайте условие задачи. Возможен, дана прямоугольная пирамида ABCDES. В ее основании лежит пятиугольник, площадь которого 45 см?. Длина высоты SE равна 30 см.

    3. Постройте пирамиду, следуя заданным параметрам. Ее основание обозначьте латинскими буквами ABCDE, а вершину пирамиды — S. Потому что чертеж получится на плоскости в проекции, то для того, дабы не запутаться, обозначьте теснее знаменитые вам данные: SE=30см; S(ABCDE)=45 см?.

    4. Вычислите объем прямоугольной пирамиды , применяя формулу. Подставив данные и сделав подсчеты, получится, что объем прямоугольной пирамиды будет равен: V=(45*30)/3=см?.

    5. Если в условии задачи нет данных о площади основания и высоте пирамиды , то надобно провести добавочные вычисления для приобретения этих величин. Площадь основания будет вычисляться в зависимости от того, какой многоугольник лежит в ее основании.

    6. Высоту пирамиды узнаете, если знаменита гипотенуза всякого из прямоугольных треугольников EDS либо EAS и угол, под которым наклонена боковая грань SD либо SA к ее основанию. Вычислите катет SE по теореме синусов. Он и будет являться высотой прямоугольной пирамиды .

    Обратите внимание! Проводя вычисления таких величин, как высота, объем, площадь, следует помнить, что всякая из них имеет свою единицу измерения. Так, площадь измеряется в см?, высота – в см, а объем — в см?. Кубический сантиметр – это единица объема, которая равна объему куба с длиной ребер в 1см. Если подставить данные в нашу формулу, получим: см?= (см?*см)/3.

    Полезный совет Как водится, если в задаче требуется обнаружить объем прямоугольной пирамиды, то все нужные данные знамениты – как минимум для того, дабы обнаружить площадь основания и высоту фигуры.

    jprosto.ru

    Как найти высоту пирамиды

    Любое геометрическое тело может быть интересно не только школьнику. В окружающем мире довольно часто встречаются предметы в форме пирамиды. И это не только знаменитые египетские гробницы. Часто говорят о целебных свойствах пирамиды, и кому-то наверняка захочется испытать их на себе. Но для этого надо знать ее размеры, в том числе высоту.

    Вам понадобится

    • Математические формулы и понятия:
    • Определение высоты пирамиды
    • Признаки подобия треугольников
    • Свойства высоты треугольника
    • Теорема синусов и косинусов
    • Таблицы синусов и косинусов
    • Инструменты:
    • линейка
    • карандаш
    • транспортир

    Инструкция

    • Вспомните, что такое высота пирамиды. Это есть перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды к ее основанию.
    • Постройте пирамиду по заданным параметрам. Обозначьте ее основание латинскими буквами А, B, C,D... в зависимости от количества углов. Вершину пирамиды обозначьте S.
    • Вам известны стороны, углы основания и наклона ребер к основанию. Чертеж получится в проекции на плоскости, поэтому для верности обозначьте на нем известные вам данные. Из точки S опустите высоту пирамиды и обозначьте ее h. Точку пересечения высоты с основанием пирамиды обознчьте S1.
    • Из вершины пирамиды проведите высоту любой боковой грани. Обозначьте точку ее пересечения с основанием, например, А1. Вспомните свойства высоты остроугольного треугольника. Она делит треугольник на два подобных прямоугольных треугольника. Вычислите косинусы нужных вам углов по формулеCos(A) = (b2+c2-a2)/(2*b*c), где а,b и с - стороны треугольника, в данном случае АSB (a=BA,b=AS,c=AB).Вычислите высоту боковой грани SA1 по косинусу угла АSA1, равного углу SBA из свойств высоты треугольника, и известному боковому ребру AS.
    • Соедините точки А1 и S1. У вас получился прямоугольный треугольник, в котором вам известна гипотенуза SA1 и угол наклона боковой грани пирамиды к ее основанию SA1S1. По теореме синусов вычислите катет SS1, который одновременно является и высотой пирамиды.

    completerepair.ru