Как найти основание равнобедренной трапеции. Как найти в равнобедренной трапеции основание


Как найти основание равнобедренной трапеции

Трапецией называют четырехугольник, основания которого лежат на двух параллельных прямых, при этом две другие стороны параллельными не являются. Нахождение основания равнобедренной трапеции требуется как при сдаче теории и решении задач в учебных заведениях, так и в ряде профессий (инженерных, архитектурных, дизайнерских).

Инструкция

  • У равнобедренной (или равнобокой) трапеции непараллельные стороны как и углы, которые образуются при пересечении нижнего основания, равны.
  • Трапеция имеет два основания, и чтобы их найти, нужно сначала обозначить фигуру. Пусть дана равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD и BC. При этом известны все параметры, кроме оснований. Боковая сторона AB=CD=a, высота BH=h и площадь равна S.
  • Для решения задачи об основании трапеции проще всего будет составить систему уравнений, чтобы через взаимосвязанные величины найти нужные основания.
  • Обозначьте отрезок BC за x, а AD за y, чтобы в дальнейшем было удобно обращаться с формулами и понимать их. Если не сделать этого сразу, можно запутаться.
  • Выпишите все формулы, которые пригодятся при решении поставленной задачи, используя известные данные. Формула площади равнобедренной трапеции: S=((AD+BC)*h)/2. Теорема Пифагора: a*a = h*h +AH*AH .
  • Вспомните свойство равнобедренной трапеции: высоты, выходящие из вершины трапеции, отсекают равные отрезки на большом основании. Отсюда следует, что два основания можно связать по формуле, вытекающей из этого свойства: AD=BC+2AH или y=x+2AH
  • Найдите катет AH, следуя теореме Пифагора, которую вы уже записали. Пусть он будет равен некому числу k. Тогда формула, вытекающая из свойства равнобедренной трапеции будет выглядеть так: y=x+2k.
  • Выразите через площадь трапеции неизвестную величину. У вас должно получиться: AD=2*S/h-BC или y=2*S/h-x.
  • После этого подставьте данные числовые значения в полученную систему уравнений и решите ее. Решение любой системы уравнений можно найти автоматически в программе MathCAD.

completerepair.ru

Равнобедренная трапеция | Треугольники

Что такое равнобедренная трапеция и каковы ее свойства?

Определение.

Равнобедренная трапеция — это трапеция, у которой боковые стороны равны.

Еще равнобедренную трапецию называют равнобокой (или равнобочной) трапецией.

risunok ravnobedrennoy trapetsii

рисунокравнобедреннойтрапеции

ABCD — равнобедренная трапеция.

AD и BC — основания трапеции,

AB и CD — её боковые стороны,

AB=CD.

Перечислим основные свойства равнобедренной трапеции.

Свойства равнобедренной трапеции:

ravnobokaya trapetsiya1) Углы при основании равнобедренной трапеции равны.

∠A=∠D, ∠B=∠C

2) Сумма противолежащих углов равнобедренной трапеции равна 180º.

∠A+∠C=180º, ∠B+∠D=180º

opredelenie ravnobedrennoy trapetsii3) Диагонали равнобедренной трапеции равны.

AC=BD

 

4) Около любой равнобедренной трапеции можно описать окружность.

Кроме основных, у равнобедренной трапеции есть и другие свойства. Например, можно доказать один раз и в дальнейшем использовать при решении задач следующее утверждение:

Высота, опущенная из вершины на большее основание, делит его на два отрезка, один из которых равен полусумме оснований, а другой — полуразности оснований.

ravnobedrennaya trapetsiyaAD=a, BC=b

    \[AF = \frac{{a - b}}{2}\]

    \[FD = \frac{{a + b}}{2}\]

 

 

Признаки равнобедренной трапеции:

1) Если углы при основании трапеции равны, то она — равнобедренная.

2) Если сумма противолежащих углов трапеции равна 180º, то она — равнобедренная.

3) Если диагонали трапеции равны, то она — равнобедренная.

4) Если около трапеции можно описать окружность, то она — равнобедренная.

www.treugolniki.ru

Как найти высоту равнобедренной трапеции

Применение геометрии на практике, особенно в строительстве очевидно. Трапеция одна из наиболее часто встречающихся геометрических фигур, точность расчета элементов которой - залог красоты строящегося объекта.

Вам понадобится

Инструкция

  • Трапеция представляет собой четырехугольник, две стороны которого параллельны - основания, а две другие не параллельны – боковые стороны. Трапеция, боковые стороны которой равны, называется равнобедренной или равнобочной. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований, мы рассмотрим случай, когда диагонали не перпендикулярны.
  • Рассмотрим равнобедренную трапецию ABCD и опишем ее свойства, но лишь те из них, знание которых поможет нам решить поставленную задачу. Из определения равнобедренной трапеции основание AD = a параллельно BC = b, а боковая сторона AB = CD = c из этого следует, что углы при основаниях равны, то есть угол BAQ = CDS = α, таким же образом угол ABC = BCD = β. Обобщив вышесказанное, справедливо утверждать, что треугольник ABQ равен треугольнику SCD, а значит, отрезок AQ = SD = (AD – BC)/2 = (a – b)/2.
  • Если в условии задачи нам даны длины оснований a и b, а также длина боковой стороны с, то высота трапеции h, равная отрезку BQ, находится следующим образом. Рассмотрим треугольник ABQ, так как по определению высота трапеции есть перпендикуляр к основанию, то можно утверждать, что треугольник ABQ прямоугольный. Сторона AQ треугольника ABQ, исходя из свойств равнобедренной трапеции, находится по формуле AQ = (a – b)/2. Теперь зная две стороны AQ и c, по теореме Пифагора находим высоту h. Теорема Пифагора гласит, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Запишем эту теорему применительно к нашей задаче: c^2=AQ^2+ h^2. Отсюда следует, что h = √(c^2-AQ^2).
  • Для примера рассмотрим трапецию ABCD, в которой основания AD = a = 10см BC = b = 4см, боковая сторона AB = c = 12см. Найти высоту трапеции h. Находим сторону AQ треугольника ABQ. AQ = (a – b)/2 = (10-4)/2=3см. Далее подставляем значения сторон треугольника в теорему Пифагора. h = √(c^2-AQ^2) = √(12^2-3^2) =√135=11.6см.

completerepair.ru

Площадь равнобедренной трапеции | Треугольники

Площадь равнобедренной трапеции можно найти с помощью любой из формул для нахождения площади трапеции в общем случае. Благодаря свойствам равнобедренной трапеции некоторые из этих формул могут быть упрощены.

I Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.

ploshchad-ravnobedrennoj-trapeciiКак и для случая произвольной трапеции, площадь равнобедренной трапеции ABCD, AD∥BC, AB=CD,

    \[BF \bot AD,\]

    \[{S_{ABCD}} = \frac{{AD + BC}}{2} \cdot BF\]

Если AD=a, BC=b, BF=h, то формула площади трапеции принимает вид

    \[S = \frac{{a + b}}{2} \cdot h\]

II. Площадь трапеции равна произведению её средней линии на высоту.

formula-ploshchadi-ravnobedrennoj-trapeciiЭто верно, в частности, для равнобедренной трапеции.

Если MN — средняя линия трапеции ABCD, BF — её высота, то площадь трапеции равна

    \[{S_{ABCD}} = MN \cdot BF\]

Если MN=m, BF=h, то

    \[S = m \cdot h\]

III. Площадь трапеции равна половине произведения её диагоналей на синус угла между ними.

Поскольку диагонали равнобедренной трапеции равны, площадь равнобедренной трапеции равна половине произведения квадрата её диагонали на синус угла между диагоналями.

ploshchad-ravnobedrennoj-trapecii-cherez-diagonaliДля равнобедренной трапеции ABCD

AD∥BC, AB=CD, AC∩BD=O,

    \[{S_{ABCD}} = \frac{1}{2}A{C^2} \cdot \sin \angle COD\]

Если AC=d, ∠COD=φ

    \[S = \frac{1}{2}{d^2}\sin \varphi \]

VI. Площадь равнобедренной трапеции с перпендикулярными диагоналями.

1) Если диагонали равнобедренной трапеции перпендикулярны, так как sin 90º=1, предыдущая формула принимает вид:

    \[S = \frac{1}{2}{d^2}\]

2) Площадь равнобедренной трапеции, диагонали которой перпендикулярна, равна квадрату её высоты.

ploshchad-ravnobedrennoj-trapecii-diagonali-perpendikulyarnyВ равнобедренной трапеции ABCD

AD∥BC, AB=CD, AC∩BD=O, проведем высоту FK через точку пересечения диагоналей.

Прямоугольные треугольники AOD и BOC — равнобедренные (с основаниями AD и BC). Поэтому их высоты OK и OF являются также медианами. Следовательно, по свойству медианы, проведенной к гипотенузе

    \[OK = \frac{1}{2}AD,OF = \frac{1}{2}BC.\]

    \[{S_{ABCD}} = \frac{{AD + BC}}{2} \cdot FK = \]

    \[ = (\frac{{AD}}{2} + \frac{{BC}}{2}) \cdot FK = \]

    \[ = (OK + OF) \cdot FK = FK \cdot FK = F{K^2}.\]

Таким образом, формула для нахождения площади равнобедренной трапеции с перпендикулярными диагоналями:

    \[S = {h^2}\]

V. Площадь трапеции равна произведению её полупериметра на радиус вписанной окружности.

    \[S = p \cdot r\]

Так как в трапецию ABCD можно вписать окружность, то

AD+BC=AB+CD, то есть p=AD+BC или p=AB+CD=2AB.

Таким образом, площадь равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность, равна произведению суммы оснований на радиус окружности.

Если обозначить основания трапеции AD=a, BC=b, то

    \[S = (a + b) \cdot r\]

Также площадь равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность, равна удвоенному произведению боковой стороны на радиус окружности.

Если обозначить боковые стороны AB=CD=c, то формула площади трапеции в этом случае

    \[S = 2cr\]

Так как высота равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность, равна среднему пропорциональному (среднему геометрическому) между её основаниями, то площадь равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность, равна произведению среднего арифметического и среднего геометрического её оснований:

    \[S = \frac{{a + b}}{2} \cdot \sqrt {ab} \]

www.treugolniki.ru

Найти большее основание трапеции

Найти большее основание трапеции. Здравствуйте! В той статье разберём группу задач связанных с площадью трапеции. Часть задачек решается устно, другая часть нет, но всё же быстро. Перед решением стоит посмотреть статью «Углы равнобедренной трапеции», и информацию о выводе формулы площади. Сама формула:

Рассмотрим задачи:

27627. Основания трапеции равны 8 и 34, площадь равна 168. Найдите ее высоту.

Площадь трапеции (формула):

Нам известны основания и площадь, можем записать:

Ответ: 8

27628. Основание трапеции равно 13, высота равна 5, а площадь равна 50. Найдите второе основание трапеции.

 

Формула площади при данных обозначениях вершин:

Нам известны основание, площадь и высота, можем записать:

Ответ: 7

*Заметьте, что в условии не сказано какое именно дано основание меньшее и большее, да это и не важно для процесса вычисления.

27630. Средняя линия трапеции равна 12, площадь равна 96. Найдите высоту трапеции.

Формула площади при данных обозначениях вершин:

Нам известны средняя линя и площадь, можем записать:

Ответ: 8

27632. Основания равнобедренной трапеции равны 7 и 13, а ее площадь равна 40. Найдите периметр трапеции.

Для того, что бы найти периметр нам необходимо найти чему равна боковая сторона. Как известно, у равнобедренной трапеции боковые стороны равны.

Используя данные в условии мы можем вычислить высоту:

Опустим  высоту из точки D к основанию АВ и точку пересечения обозначим как Е:

Теперь мы можем вычислить отрезок AH и по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике ADH найти гипотенузу AD (боковую сторону трапеции):

По теореме Пифагора:

Таким образом периметр будет равен 7+13+5+5 = 30

Ответ: 30

27635. Основания равнобедренной трапеции равны 14 и 26, а ее боковые стороны равны 10. Найдите площадь трапеции.

Для вычисления площади нам необходимо найти высоту. Выполним дополнительные построения:

Нижнее основание будет разбито на отрезки 6, 14 и 6. По теореме Пифагора мы можем вычислить высоту:

Таким образом площадь будет равна:

Ответ: 160

27636. Основания равнобедренной трапеции равны 7 и 13, а ее площадь равна 40. Найдите боковую сторону трапеции.

Задача обратная предыдущей. Из данных  в условии мы можем вычислить высоту:

Теперь выполним дополнительные построения (опустим  высоты):

Большее основание разбивается ими на отрезки 3, 7 и 3. По теореме Пифагора можем вычислить боковую сторону:

Ответ: 5

27637. Основания трапеции равны 18 и 6, боковая сторона, равная 7, образует с одним из оснований трапеции угол 1500. Найдите площадь трапеции.

Для вычисления площади необходимо найти высоту. Это мы можем сделать рассмотрев прямоугольный треугольник АВН:

Высоту нашли, вычисляем площадь:

Ответ: 42

27593. Основания трапеции равны 1 и 3, высота  — 1. Найдите площадь трапеции.

Посмотреть решение

27594. Средняя линия и высота трапеции равны соответственно 3 и 2. Найдите площадь трапеции.

Посмотреть решение

27629. Высота трапеции равна 10, площадь равна 150. Найдите среднюю линию трапеции.

Посмотреть решение

27631. Основания равнобедренной трапеции равны 14 и 26, а ее периметр равен 60. Найдите площадь трапеции.

Посмотреть решение

27633. Найдите площадь прямоугольной трапеции, основания которой равны 6 и 2, большая боковая сторона составляет с основанием угол 450.

Посмотреть решение

27634. Основания прямоугольной трапеции равны 12 и 4. Ее площадь равна 64. Найдите острый угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

Посмотреть решение

27638. Основания трапеции равны 27 и 9, боковая сторона равна 8. Площадь трапеции равна 72. Найдите острый угол трапеции, прилежащий к данной боковой стороне. Ответ выразите в градусах.

Посмотреть решение

На этом всё! Успеха вам!

С уважением, Александр Крутицких.

P.S: Расскажите о статье и сайте в социальных сетях.

matematikalegko.ru

Как найти высоту равнобедренной трапеции

Использование геометрии на практике, исключительно в строительстве видимо. Трапеция одна из особенно зачастую встречающихся геометрических фигур, точность расчета элементов которой — залог красоты строящегося объекта.

Вам понадобится

Инструкция

1. Трапеция представляет собой четырехугольник, две стороны которого параллельны — основания, а две другие не параллельны – боковые стороны. Трапеция, боковые стороны которой равны, именуется равнобедренной либо равнобочной. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований, мы разглядим случай, когда диагонали не перпендикулярны.

2. Разглядим равнобедренную трапецию ABCD и опишем ее свойства, но лишь те из них, умение которых поможет нам решить поставленную задачу. Из определения равнобедренной трапеции основание AD = a параллельно BC = b, а боковая сторона AB = CD = c из этого следует, что углы при основаниях равны, то есть угол BAQ = CDS = ?, таким же образом угол ABC = BCD = ?. Обобщив вышесказанное, объективно утверждать, что треугольник ABQ равен треугольнику SCD, а значит, отрезок AQ = SD = (AD – BC)/2 = (a – b)/2.

3. Если в условии задачи нам даны длины оснований a и b, а также длина боковой стороны с, то высота трапеции h, равная отрезку BQ, находится дальнейшим образом. Разглядим треугольник ABQ, потому что по определению высота трапеции есть перпендикуляр к основанию, то дозволено утверждать, что треугольник ABQ прямоугольный. Сторона AQ треугольника ABQ, исходя из свойств равнобедренной трапеции, находится по формуле AQ = (a – b)/2. Сейчас зная две стороны AQ и c, по теореме Пифагора находим высоту h. Теорема Пифагора гласит, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Запишем эту теорему применительно к нашей задаче: c^2=AQ^2+ h^2. Отсель следует, что h = ?(c^2-AQ^2).

4. Для примера разглядим трапецию ABCD, в которой основания AD = a = 10см BC = b = 4см, боковая сторона AB = c = 12см. Обнаружить высоту трапеции h. Находим сторону AQ треугольника ABQ. AQ = (a – b)/2 = (10-4)/2=3см. Дальше подставляем значения сторон треугольника в теорему Пифагора. h = ?(c^2-AQ^2) = ?(12^2-3^2) =?135=11.6см.

Трапецией считается такой четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие нет. Высотой трапеции именуется отрезок, проведенный перпендикулярно между двумя параллельными прямыми. В зависимости от начальных данных ее дозволено вычислить по-различному.

Вам понадобится

  • Знание сторон, оснований, средней линии трапеции, а так же, опционально, ее площадь и/или периметр.

Инструкция

1. Одним из методов вычислить площадь трапеции является произведение высоты и средней линии. Возможен, что имеется равнобедренная трапеция. Тогда высота равнобедренной трапеции с основаниями a и b, площадью S и периметром P будет рассчитана так:h=2 х S/(P-2 х d). (см. рис 1)

2. Если вестима только площадь трапеции и ее основания, то формулу расчета высоты дозволено вывести из формулы площади трапеции S = 1/2h x (a+b):h = 2S/(a+b).

3. Возможен, имеется трапеция с теми же данными, что и на рисунке 1. Проведем 2 высоты, получим прямоугольник, у которого 2 меньшие стороны являются катетами прямоугольных треугольников. Обозначим меньший катит за x. Он находится путем деления разницы длин между огромным и меньшим основаниями. Тогда по теореме Пифагора квадрат высоты равен сумме квадратов гипотенузы d и катета x. Извлекаем корень из этой суммы и получим высоту h. (рис. 2)

Как обнаружить высоту трапеции

Видео по теме

Равнобедренная трапеция — это трапеция, у которой противолежащие непараллельные стороны равны. Ряд формул дозволяют обнаружить площадь трапеции через ее стороны, углы, высоту и.т.д. Для случая равнобедренных трапеций эти формулы могут несколько упрощаться.

Инструкция

1. Четырехугольник, у которого пара противолежащих сторон параллельна, называют трапецией. В трапеции определяют основания, стороны, диагонали, высоту, среднюю линию. Зная разные элементы трапеции, дозволено обнаружить ее площадь.

2. Изредка особыми случаями равнобедренных трапеций считаются прямоугольники и квадраты, но во многих источниках они к трапециям не относятся. Еще одним особым случаем равнобедренной трапеции считается такая геометрическая фигура с 3 равными сторона. Ее называют трехсторонней трапецией, либо триравнобедренной трапецией, либо, реже, symtra. Такую трапецию дозволено рассматривать как отсечение 4 последовательных вершин от положительного многоугольника, имеющего 5 либо больше сторон.

3. Трапеция состоит из оснований (параллельные противоположные стороны), боковых сторон (две другие стороны), средней линии (отрезок, соединяющий середины боковых сторон). Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.

4. Дабы трапеция считалась равнобедренной, должно выполняться как минимум одно из следующих условий. Первое: углы при основе трапеции обязаны быть равны: ?ABC = ?BCD и ?BAD = ?ADC. Второе: диагонали трапеции обязаны быть равны: AC = BD. Третье: если углы между диагоналями и основаниями идентичны, трапеция считается равнобедренной: ?ABD = ?ACD, ?DBC = ?ACB, ?CAD = ?ADB, ?BAC = ?BDC. Четвертое: сумма противоположных углов равна 180°: ?ABC + ?ADC = 180° и ?BAD + ?BCD = 180°. Пятое: если вокруг трапеции дозволено описать окружность, она считается равнобедренной.

5. Равнобедренная трапеция, как и любая иная геометрическая фигура, владеет рядом постоянных свойств. Первое из них: сумма углов, прилегающих к боковой стороне равнобедренной трапеции равна 180°: ?ABC + ?BAD = 180° и ?ADC + ?BCD = 180°. Второе: если в равнобедренную трапецию дозволено вписать окружность, то ее боковая сторона равна средней линии трапеции: AB = CD = m. Третье: вокруг равнобедренной трапеции неизменно дозволено описать окружность. Четвертое: если диагонали взаимно перпендикулярны, то высота трапеции равна полусумме оснований (средней линии): h=m. Пятое: если диагонали взаимно перпендикулярны, то площадь трапеции равна квадрату высоты: SABCD = h3 . Шестое: если в равнобедренную трапецию дозволено вписать окружность, то квадрат высоты равен произведению основ трапеции: h3 = BC • AD. Седьмое: сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов боковых сторон плюс удвоенному произведению основ трапеции: AC2 + BD2 = AB2 + CD2 + 2BC • AD. Восьмое: прямая, проходящая через середины оснований, перпендикулярна основаниям и является осью симметрии трапеции: HF ? BC ? AD. Девятое: высота ((CP), опущенная из вершины (C) на большее основание (AD), делит его на огромный отрезок (AP), тот, что равен полусумме оснований и меньшый (PD) — равен полуразности оснований: AP=BC+AD/2, PD=AD-BC/2.

6. Самая распространенная формула для вычисления площади трапеции — S = (a+b)h/2. Для случая равнобедренной трапеции она очевидным образом не поменяется. Дозволено лишь подметить, что у равнобедренной трапеции углы при любом из оснований будут равны (DAB = CDA = x). Потому что ее боковые стороны тоже равны (AB = CD = с), то и высоту h дозволено посчитать по формуле h = с*sin(x).Тогда S = (a+b)*с*sin(x)/2.Подобно, площадь трапеции дозволено записать через среднюю сторону трапеции: S = mh.

7. Разглядим частный случай равнобедренной трапеции, когда ее диагонали перпендикулярны. В этом случае, по свойству трапеции, ее высота равна полусумме оснований.Тогда площадь трапеции дозволено вычислить по формуле: S = (a+b)^2/4.

8. Разглядим также еще одну формулу для определения площади трапеции: S = ((a+b)/2)*sqrt(c^2 — ((b-a)^2+c^2-d^2)/2(b-a))^2), где c и d — боковые стороны трапеции. Тогда в случае равнобедренной трапеции, когда c = d, формула принимает вид: S = ((a+b)/2)*sqrt(c^2-((b-a)^2/2(b-a))^2).

9. Обнаружьте площадь трапеции по формуле S=0,5?(a+b)?h, если знамениты a и b — длины оснований трапеции, то есть параллельные стороны четырехугольника, и h — высота трапеции (наименьшее расстояние между основаниями). Скажем, пускай дана трапеция с основаниями a=3 см, b=4 см и высотой h=7 см. Тогда ее площадь будет равна S=0,5?(3+4)?7=24,5 см?.

10. Воспользуйтесь дальнейшей формулой для вычисления площади трапеции: S=0,5?AC?BD?sin(?), где AC и BD — диагонали трапеции, а ? — угол между этими диагоналями. Скажем, задана трапеция с диагоналями AC=4 см и BD=6 см и углом ?=52°, тогда sin(52°)?0,79. Подставьте значения в формулу S=0,5?4?6?0,79?9,5 см?.

11. Посчитайте площадь трапеции, когда вестимы ее m — средняя линия (отрезок, соединяющий середины сторон трапеции) и h — высота. В этом случае площадь будет равна S=m?h. К примеру, пускай у трапеции средняя линия m=10 см, а высота h=4 см. В этом случае получается, что площадь заданной трапеции равна S=10?4=40 см?.

12. Вычислите площадь трапеции, в случае когда даны длины ее боковых сторон и оснований по формуле: S=0,5?(a+b)??(c??(((b?a)?+c??d?)?(2?(b?a)))?), где a и b — основания трапеции, а c и d — ее боковые стороны. Скажем, пускай дана трапеция с основаниями 40 см и 14 см и боковыми сторонами 17 см и 25 см. По вышеуказанной формуле S=0,5?(40+14)??(17??(((14?40)?+17??25?)?(2?(14?40)))?)?423,7 см?.

13. Рассчитайте площадь равнобедренной (равнобокой) трапеции, то есть трапеции у которой боковые стороны равны, если в нее вписана окружность по формуле: S=(4?r?)?sin(?), где r — радиус вписанной окружности, ? — угол при основании трапеции. В равнобедренной трапеции углы при основании равны. Скажем, пускай в трапецию вписана окружность радиусом r=3 см, а угол при основании ?=30°, тогда sin(30°)=0,5. Подставьте значения в формулу: S=(4?3?)?0,5=72 см?.

Трапеция, в которой длины боковых сторон равны, а основания параллельны, именуется равнобедренной либо равнобокой. Обе диагонали в такой геометрической фигуре имеют идентичную длину, которую в зависимости от вестимых параметров трапеции дозволено рассчитать различными методами.

Инструкция

1. Если знамениты длины оснований равнобедренной трапеции (A и B) и длина ее боковой стороны (C), то для определения длин диагоналей (D) дозволено воспользоваться тем, что сумма квадратов длин всех сторон равна сумме квадратов длин диагоналей. Это качество вытекает из того факта, что всякая из диагоналей трапеции является гипотенузой треугольника, катетами в котором служат боковая сторона и основание. А согласно теореме Пифагора сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы. Потому что боковые стороны в равнобедренной трапеции равны, как и ее диагонали, то это качество дозволено записать в таком виде: A? + B? + 2C? = 2D?. Из этой формулы вытекает, что длина диагонали равна квадратному корню из половины суммы квадратов длин оснований, сложенной с квадратом длины боковой стороны: D = √((A? + B?)/2 + C?).

2. Если длины сторон не знамениты, но есть длина средней линии (L) и высота (H) равнобедренной трапеции, то длину диагонали (D) тоже вычислить нетрудно. Потому что длина средней линии равна полусумме оснований трапеции, то это дает вероятность обнаружить длину отрезка между точкой на большем основании, в которую опущена высота, и вершиной, прилегающей к этому основанию. В равнобедренной трапеции длина этого отрезка будет совпадать с длиной средней линии. Потому что диагональ замыкает данный отрезок и высоту трапеции в прямоугольный треугольник, то вычислить ее длину не составит труда. Скажем, по той же самой теореме Пифагора она будет равна квадратному корню из суммы квадратов высоты и средней линии: D=√(L? + H?).

3. Если знамениты длины обоих оснований равнобедренной трапеции (A и B) и ее высота (H), то, как и в предыдущем случае, дозволено вычислить длину отрезка между точкой, опущенной на огромную сторону высоты и прилегающей к ней вершиной. Формула из предыдущего шага трансформируется к такому виду: D=√((A + B)?/4 + H?).

Трапеция представляет собой четырехугольник с двумя параллельными сторонами. Эти стороны именуются основаниями. Их финальные точки объединены отрезками, которые именуются боковыми сторонами. У равнобедренной трапеции боковые стороны равны.

Вам понадобится

  • — равнобедренная трапеция;
  • — длины оснований трапеции;
  • — высота трапеции;
  • — лист бумаги;
  • — карандаш;
  • — линейка.

Инструкция

1. Постройте трапецию согласно условиям задачи. Вам обязаны быть даны несколько параметров. Как водится, это оба основания и высота. Но допустимы и другие данные — одно из оснований, его наклона к нему боковой стороны и высота. Обозначьте трапецию как АBCD, основания пускай будут a и b, высоту обозначьте как h, а боковые стороны — х. От того что трапеция равнобедренная, боковые стороны у нее равны.

2. Из вершин B и С проведите высоты к нижнему основанию. Точки пересечения обозначьте как M и N. К вас получилось два прямоугольных треугольника — AМВ и СND. Они равны, от того что по условиям задачи равны их гипотенузы АВ и CD, а также катеты ВМ и СN. Соответственно, отрезки АМ и DN также равны между собой. Обозначьте их длину как y.

3. Для того, дабы обнаружить длину суммы этих отрезков, нужно из длины основания a вычесть длину основания b. 2у=a-b. Соответственно, один такой отрезок будет равен разности оснований, деленной на 2. y=(a-b)/2.

4. Обнаружьте длину боковой стороны трапеции, которая единовременно является и гипотенузой прямоугольного треугольника с вестимыми вам катетами. Вычислите ее по теореме Пифагора. Она будет равна квадратному корню из суммы квадратов высоты и разности оснований, деленной на 2. То есть x=?y2+h3=?(a-b)2/4+h3.

5. Зная высоту и угол наклона боковой стороны к основанию, сделайте те же самые построения. Разность оснований в этом случае вычислять не необходимо. Воспользуйтесь теоремой синусов. Гипотенуза равна длине катета, умноженной на синус противолежащего ему угла. В данном случае x=h*sinCDN либо x=h*sinBAM.

6. Если вам дан угол наклона боковой стороны трапеции не к нижнему, а к верхнему основанию, обнаружьте надобный угол, исходя из свойства параллельных прямых. Припомните одно из свойств равнобедренной трапеции, согласно которому углы между одним из оснований и боковыми сторонами равны.

Обратите внимание! Повторите свойства равнобедренной трапеции. Если поделить оба ее основания напополам и повести через эти точки линию, то она будет осью этой геометрической фигуры.Если опустить высоту из одной вершины верхнего основания на нижнее, то на этом последнем получатся два отрезка. Скажем, в данном случае это отрезки АМ и DМ. Один из них равен полусумме оснований а и b, а иной — половине их разности.

Трапецией считают четырехугольник, имеющий лишь две параллельные стороны — они именуются основаниями этой фигуры. Если при этом длины 2-х других — боковых — сторон идентичны, трапеция именуется равнобедренной либо равнобокой. Линия, которая соединяет середины боковых сторон, именуется средней линией трапеции и может быть рассчитана несколькими методами.

Инструкция

1. Если вестимы длины обоих оснований (А и В), для вычисления длины средней линии (L) используйте основное качество этого элемента равнобедренной трапеции — она равна полусумме длин оснований: L = ?*(А+В). Скажем, в трапеции с основаниями, имеющими длины 10см и 20см, средняя линия должна быть равна ?*(10+20) = 15см.

2. Средняя линия (L) совместно с высотой (h) равнобокой трапеции является сомножителем в формуле вычисления площади (S) этой фигуры. Если эти два параметра даны в начальных условиях задачи, для вычисления длины средней линии разделяете площадь на высоту: L = S/h. Скажем, при площади в 75 см? равнобедренная трапеция высотой в 15см должна иметь среднюю линию длиной в 75/15 = 5см.

3. При вестимых периметре (Р) и длине боковой стороны (С) равнобедренной трапеции рассчитать среднюю линию (L) фигуры тоже нетрудно. Отнимите от периметра две длины боковых сторон, а оставшаяся величина будет суммой длин оснований — поделите ее напополам, и задача будет решена: L = (P-2*С)/2. Скажем, при периметре, равном 150см, и боковой стороне длиной в 25см длина средней линии должна составить (150-2*25)/2 = 50см.

4. Зная длины периметра (P) и высоты (h), а также величину одного из острых углов (?) равнобедренной трапеции, тоже дозволено вычислить длину ее средней линии (L). В треугольнике, составленном высотой, боковой стороной и частью основания, один из углов является прямым, а величина иного знаменита. Это дозволит вычислить длину боковой стороны по теореме синусов — поделите высоту на синус вестимого угла: h/sin(?). После этого подставьте это выражение в формулу из предыдущего шага и вы получите такое равенство: L = (P-2*h/sin(?))/2 = P/2-h/sin(?). Скажем, если знаменитый угол имеет величину в 30°, высота равна 10см, а периметр составляет 150см, длина средней линии должна быть рассчитана так: 150/2-10/sin(30°) = 75-20 = 55см.

Трапецией называют четырехугольник, основания которого лежат на 2-х параллельных прямых, при этом две другие стороны параллельными не являются. Нахождение основания равнобедренной трапеции требуется как при сдаче теории и решении задач в учебных заведениях, так и в ряде профессий (инженерных, архитектурных, дизайнерских).

Инструкция

1. У равнобедренной (либо равнобокой) трапеции непараллельные стороны как и углы, которые образуются при пересечении нижнего основания, равны.

2. Трапеция имеет два основания, и дабы их обнаружить, надобно вначале обозначить фигуру. Пускай дана равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD и BC. При этом знамениты все параметры, помимо оснований. Боковая сторона AB=CD=a, высота BH=h и площадь равна S.

3. Для решения задачи об основании трапеции проще каждого будет составить систему уравнений, дабы через взаимосвязанные величины обнаружить надобные основания.

4. Обозначьте отрезок BC за x, а AD за y, дабы в будущем было комфортно обращаться с формулами и понимать их. Если не сделать этого сразу, дозволено запутаться.

5. Выпишите все формулы, которые сгодятся при решении поставленной задачи, применяя вестимые данные. Формула площади равнобедренной трапеции: S=((AD+BC)*h)/2. Теорема Пифагора: a*a = h*h +AH*AH .

6. Припомните качество равнобедренной трапеции: высоты, выходящие из вершины трапеции, отсекают равные отрезки на большом основании. Отсель следует, что два основания дозволено связать по формуле, вытекающей из этого свойства: AD=BC+2AH либо y=x+2AH

7. Обнаружьте катет AH, следуя теореме Пифагора, которую вы теснее записали. Пускай он будет равен некому числу k. Тогда формула, вытекающая из свойства равнобедренной трапеции будет выглядеть так: y=x+2k.

8. Выразите через площадь трапеции незнакомую величину. У вас должно получиться: AD=2*S/h-BC либо y=2*S/h-x.

9. Позже этого подставьте данные числовые значения в полученную систему уравнений и решите ее. Решение всякий системы уравнений дозволено обнаружить механически в программе MathCAD.

Полезный совет Усердствуйте неизменно при решении задач максимально упростить обозначения и формулы. Так решение найдется значительно стремительней.

Полезный совет Свойства равнобедренной трапеции.Прямая, проходящая через середины оснований, перпендикулярна основаниям и является осью симметрии трапеции.Высота, опущенная из вершины на большее основание, делит его на два отрезка, один из которых равен полусумме оснований, иной — полуразности оснований.В равнобедренной трапеции углы при любом основании равны.В равнобедренной трапеции длины диагоналей равны.Около равнобедренной трапеции дозволено описать окружность.Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.

jprosto.ru

Площадь равнобедренной трапеции по основаниям и диагонали

Как найти площадь равнобедренной трапеции по основаниям и диагонали?

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту. Поскольку основания уже известны, остаётся найти высоту трапеции.

ploshchad-ravnobedrennoj-trapecii-po-osnovaniyam-i-diagonaliДано: ABCD — трапеция,

AD∥BC,AB=CD,

AD=a, BC=b, AC=d

Найти:

    \[{S_{ABCD}}\]

Решение:

v-ravnobedrennoj-trapecii-po-osnovaniyam-i-diagonali-najti-ploshchadПроведем высоту трапеции

    \[BF \bot AD.\]

По свойству равнобедренной трапеции,

    \[FD = \frac{{AD + BC}}{2} = \frac{{a + b}}{2}.\]

Рассмотрим прямоугольный треугольник BDF.

По теореме Пифагора

    \[B{D^2} = B{F^2} + F{D^2}, \Rightarrow BF = \sqrt {B{D^2} - F{D^2}} \]

    \[BF = \sqrt {{d^2} - {{(\frac{{a + b}}{2})}^2}} = \sqrt {\frac{{4{d^2} - {{(a + b)}^2}}}{4}} = \frac{1}{2}\sqrt {4{d^2} - {{(a + b)}^2}} .\]

По формуле

    \[S = \frac{{a + b}}{2} \cdot h\]

находим площадь трапеции ABCD

    \[{S_{ABCD}} = \frac{{AD + BC}}{2} \cdot BF,\]

    \[{S_{ABCD}} = \frac{{a + b}}{2} \cdot \frac{1}{2}\sqrt {4{d^2} - {{(a + b)}^2}} = \frac{{a + b}}{4}\sqrt {4{d^2} - {{(a + b)}^2}} .\]

Запоминать эту формулу не нужно. При решении конкретной задачи достаточно провести аналогичные рассуждения, найти высоту трапеции и подставить её в стандартную формулу для нахождения площади трапеции.

Задача.

Основания равнобедренной трапеции равны 38 см и 22 см. Найти площадь трапеции, если её диагональ равна 50 см.

najti-ploshchad-ravnobedrennoj-trapecii-cherez-osnovaniya-i-diagonalРешение:

    \[FD = \frac{{AD + BC}}{2} = \frac{{38 + 22}}{2} = 30(cm).\]

    \[BF = \sqrt {B{D^2} - F{D^2}} = \sqrt {{{50}^2} - {{30}^2}} = 40(cm),\]

    \[{S_{ABCD}} = \frac{{AD + BC}}{2} \cdot BF = \frac{{38 + 22}}{2} \cdot 40 = 1200(c{m^2}).\]

Ответ: 1200 см².

Площадь трапеции, Трапеция

www.treugolniki.ru