3. Нормальное, тангенциальное и полное ускорения. Как найти тангенциальное ускорение и нормальное


Тангенциальное и нормальное ускорение

 

Предположим, например, что частица, двигаясь по какой-то сложной кривой (рисунок), имеет в момент t1 скорость v1, а несколько позже, в момент t2 скорость v2. Ускорение равно разности скоростей, деленной на малый промежуток времени. Для того, чтобы найти разность скоростей, векторы v1 и v2 перенесены параллельно и равны их двойникам на предыдущем рисунке. Ускорение равно Dv/Dt.

Удобно иногда разложить разность скоростей на две составляющие: Dv|| - вектор, параллельный касательной к траектории, и вектор Dv^, перпендикулярный к этой касательной. Касательное к траектории ускорение равно изменению длины вектора, т.е. изменению величины скорости v:

а|| = dv/dt.

Другую, поперечную составляющую ускорения можно вычислить пользуясь рисунками. За короткое время Dt изменение угла между v1 и v2 равно малому углу Dq. Если величина скорости равна v, то:

Dv^= vDq, а ускорение равно а^= vDq/Dt

Для того, чтобы найти Dq/Dt, можно приблизительно заменить участок траектории окружностью радиуса R (радиус кривизны). Поскольку за время Dt частица пройдет расстояние s = vDt, изменение угла равно

;

следовательно, а^= .

Более абстрактный, но строгий способ разложения ускорения на составляющие параллельные и перпендикулярные касательной к траектории состоит в следующем. Введем единичный вектор t, связанный с движущейся точкой А и направленный по касательной к траектории в сторону возрастания дуговой координаты l (дуговая координата (l - расстояние вдоль траектории от выбранного начала отсчета О). Очевидно, что t - переменный вектор: он зависит от l. Вектор скорости v точки А направлен по касательной к траектории, поэтому его можно представить так:

v = vtt,

где vt = dl/dt - проекция вектора v на направление вектора t, причем vt - величина алгебраическая. Кроме того,

Продифференцируем последнее выражение для скорости по времени:

Затем преобразуем второе слагаемое этого выражения:

Определим приращение вектора t на участке dl (рисунок). Можно строго показать, что при стремлении точки 2 к точке 1 отрезок траектории между ними стремится к дуге окружности с центром в некоторой точке О. Эту точку называют центром кривизны траектории в данной точке, а радиус r соответствующей окружности - радиусом кривизны траектории в той же точке.

Как видно из рисунка, угол da = dl/r = ïdtï/1 , откуда

ïdt/dlï = 1/r, причем при dl ® 0 dt ^ t. Введя единичный вектор n нормали к траектории в точке А, направленный к центру кривизны, запишем последнее равенство в векторном виде:

dt/dl = n/r.

Окончательно получим для ускорения:

a = t +

Здесь первое слагаемое называют тангенциальным ускорением, второе - нормальным ускорением. Таким образом, полное ускорение а материальной точки может быть представлено как векторная сумма тангенциального и нормального ускорений.

Тангенциальное ускорение показывает, с какой скоростью изменяется во времени модуль вектора скорости, т.е. численная величина скорости. Нормальное ускорение показывает, с какой скоростью изменяется во времени направление вектора скорости. Для того, чтобы лучше представить это, рассмотрим частный случай – движение тела по окружности.

Движение тела по окружности является частным случаем криволинейного движения. Наряду с вектором перемещения удобно рассматривать угловое перемещение Δφ (или угол поворота), измеряемое в радианах (рисунок). Длина дуги связана с углом поворота соотношением

При малых углах поворота Δl ≈ Δs.

При равномерном движении по окружности модуль вектора скорости (величина скорости) остается постоянной. Изменяется во времени только направление вектора скорости. Рассмотрим две близко расположенные точки круговой траектории А и В, перемещение между которыми соответствует малому интервалу времени . Изменение вектора скорости при этом составит . Обозначим vB = vA = v. Из равнобедренного треугольника DBC находим . При малой величине синус можно заменить аргументом . Угол поворота можно представить как отношение длины дуги к радиусу R окружности. Тогда приращение скорости составит . Ускорение будет равно . В пределе, при стремлении к нулю промежутка времени последнее равенство переходит в точное. Направление вектора при этом будет по радиусу к центру окружности (центр окружности в данном случае совпадает с центром кривизны траектории в каждой точке окружности), т.е. перпендикулярно к касательной траектории. Таким образом, при равномерном движении по окружности все ускорение является нормальным и величина его равна . Ускорение определяется изменением во времени направления вектора скорости, но не ее величины.

 

 

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:

zdamsam.ru

Тангенциальное, нормальное и полное ускорение

 

Криволинейное движение всегда происходит с ускорением, поскольку если даже величина скорости не изменяется, происходит изменение ее направления.

Вектор ускорения < > направлен параллельно вектору изменения скорости в сторону вогнутости траектории (рисунок 1.4).

 

 

Рисунок 1.4 – Направление вектора ускорения.

В общем случае мгновенное ускорение направлено под углом к скорости. Зная траекто­рию, можно определить направление скорости, но не ускорения. Направление ускорения опре­деляется направлением равнодействующей сил, действующих на тело.

Вектор полного ускорения тела при криволинейном движении мож­но разложить на две составляющие, направлен­ные вдоль скорости – тангенциальное ускорение и перпендикулярно ско­рости – нормальное ускорение.

 

Рисунок 1.5 – Касательное и нормальное ускорения.

Тангенциальное уско­рение характеризует быстроту изменения величины скорости при криволинейном движении по величине, а нормальное ускорение – быстроту изменения направления вектора скоро­сти.

Как видно из рисунка 1.5, полное ускорение тела есть геометрическая сумма тангенциальной и нормальной составляющих:

 

.

 

Модуль полного ускорения равен:

 

. (1.12)

 

Похожие статьи:

poznayka.org

3. Нормальное, тангенциальное и полное ускорения.

Движение тела характеризуется скоростью и ускорением, которые могут изменяться во времени. Пусть материальная точка движется по плоской криволинейной траектории с переменной по величине и направлению скоростью (рис. 4). Для характеристики степени криволинейности вводится понятие радиуса кривизны в данной точке траектории.

Радиусом кривизны R траектории называют радиус окружности, которая сливается с криволинейной траекторией на бесконечно малом ее участке.

В данной точке траектории касательная всегда перпендикулярна радиусу кривизны.

Пусть и скорость, и ускорение меняются по величине и направлению.

Мы знаем, что ускорение тела при движении есть .

Вектор скорости можно представить как произведение модуля скоростии некоторого единичного вектора , сонаправленного с вектором линейной скорости , направленного по касательной к траектории.

Таким образом, полное ускорение материальной точки при криволинейном движении можно представить в виде суммы двух слагаемых. Первое слагаемое .

Вектор сонаправлен с вектором , т.е. направлен по касательной к траектории и называется тангенциальным или касательным ускорением. Его модуль равен , поэтому характеризует быстроту изменения скорости криволинейного движения по величине, но не направлению, так как вектор не изменяется.

Следовательно, можно заключить, что - тангенциальное ускорение, характеризующее изменение скорости по величине, оно направлено по касательной к траектории.

Второе слагаемое называется нормальным ускорением. Что характеризует этот вектор, куда направлен, как его рассчитать?

Так как вектор сонаправлен с вектором , который определяет изменениенаправления вектора линейной скорости, то он характеризует изменение скорости криволинейного движения по направлению.

О

пределим величину и направление . Рассмотрим частный случай движения материальной точки по окружности радиусом R с постоянной по величине скоростью (рис.5). Среднее изменение скорости на дуге АВ отнесем к точке С, лежащей посередине дуги.

направлено вдоль R к центру окружности.

∾:

.

перпендикулярно скорости, направлено вдоль радиуса к центру окружности. Его называют нормальным, радиальным или центростремительным ускорением.

Полное ускорение материальной точки при криволинейном движении характеризует быстроту изменения скорости как по величине, так и по направлению (рис.6).

, .

  1. Угловая скорость и угловое ускорение.

Поворот тела на некоторый угол можно задать в виде отрезка, длина которого равна , а направление совпадает с осью, вокруг которой производится поворот. Направление поворота и изображающего его отрезка связано правилом правого винта.

В математике показывается, что очень малые повороты можно рассматривать как векторы, обозначаемые символами или . Направление вектора поворота связывается с направлением вращения тела; является псевдовектором, так как не имеет точки приложения.

При вращательном движении твердого тела каждая точка движется по окружности, центр которой лежит на общей оси вращения (рис. 7). При этом радиус-вектор R, направленный от оси вращения к точке, поворачивается за время t на некоторый угол . Для характеристики вращательного движения вводится угловая скорость и угловое ускорение.

Угловой скоростьюназывается векторная величина, равная первой производной угла поворота тела по времени.

- вектор элементарного поворота тела.

Угол в 1 радиан – это центральный угол, длина дуги которого равна радиусу окружности. 360о = 2 рад.

Направление угловой скорости задается правилом правого винта: вектор угловой скорости сонаправлен с , то есть с поступательным движением винта, головка которого вращается в направлении движения точки по окружности. Линейная скорость точки связана с угловой скоростью:

.

В векторной форме .

Если в процессе вращения угловая скорость изменяется, то возникает угловое ускорение:

Угловое ускорение – векторная величина равная первой производной угловой скорости по времени. Вектор угловой скорости сонаправлен с вектором элементарного изменения угловой скорости , происшедшего за времяdt.

При ускоренном движении вектор параллелен (рис. 8), при замедленном – противонаправлен (рис. 9).

Угловое ускорение возникает в системе только тогда, когда происходит изменение угловой скорости, то есть когда линейная скорость движения изменяется по величине. Изменение же скорости по величине характеризует тангенциальное ускорение.

Найдем связь между угловым и тангенциальным ускорениями:

.

Изменение направления скорости при криволинейном движении характеризуется нормальным ускорением :

.

Таким образом, связь между линейными и угловыми величинами выражается следующими формулами:

.

Типы вращательного движения

а) переменное – движение, при котором изменяются и:

б) равнопеременное – вращательное движение с постоянным угловым ускорением:

.

в) равномерное – вращательное движение с постоянной угловой скоростью:

.

Равномерное вращательное движение можно характеризовать периодом и частотой вращения.

Период – это время, за которое тело совершает один полный оборот.

, [T] = c.

Частота вращения – это число оборотов совершаемых за единицу времени.

, [] = c-1.

За один оборот: ,

, .

studfiles.net

Нормальное ускорение

Рассмотрим подробнее нормальное ускорение:
       Быстрота изменения направления касательной к траектории    определяется скоростью движения точки по окружности и степенью искривленности траекторий.

       Степень искривленности плоской кривой характеризуется кривизной С.

       Радиус кривизны  r – радиус такой окружности, которая сливается с кривой в данной точке на бесконечно малом ее участке dS.

       Центры таких окружностей – центры кривизны т. O и O' (рис. 2.10),

   (2.3.10)  
       Скорость изменения направления касательной можно выразить как произведение скорости изменения угла на единичный вектор, показывающий направление изменения угла: где – единичный вектор, направленный перпендикулярно касательной в данной точке, т.е. по радиусу кривизны к центру кривизны.

Рис. 2.10

       Из (2.3.10) следует, что , но т.к.  dS = vdt, то .        Тогда и, следовательно ; наконец, , т.е.        Нормальное ускорение показывает быстроту изменения направления вектора скорости. Модуль нормального ускорения равен
   (2.3.11)  
       Термин "центростремительное ускорение" используется в случае, когда движение происходит по окружности. Если же движение происходит по произвольной кривой, то соответствующим аналогом является термин "нормальное ускорение" (перпендикулярное к касательной в любой точке траектории).

       Итак, возвращаясь к выражению (2.3.8), можно записать, что суммарный вектор ускорения при движении точки вдоль плоской кривой равен:

       Изобразим на рис. 2.11 взаимное расположение векторов ускорения:

Рис. 2.11

       Как видно из этого рисунка, модуль общего ускорения равен:
   (2.3.12)  
       Рассмотрим несколько предельных (частных) случаев:
  1. aτ = 0;     an = 0  -  равномерное прямолинейное движение;
  2. aτ = const;     an = 0  -  равноускоренное прямолинейное движение;
  3. aτ = 0;     an = const  -  равномерное движение по окружности.

ens.tpu.ru

1.3. Нормальное, тангенциальное и полное ускорения

При произвольном криволинейном движении вектор скорости может изменяться как по величине, так и по направлению. В этом случае существует ускорение, характеризующее быстроту изменения скорости по величине, и ускорение, характеризующее быстроту изменения скорости по направлению.

Рассмотрим три частных случая.

При движении по прямолинейной траектории - орт скоростиостается постоянным, т.е.=сonst, поэтому . Если0, то ускорение направлено так же, как и скорость. Если 0, направление ускорения противоположно направлению скорости. Модуль ускорения равен .

При равномерном движении по окружности =сonst, изменяется (рис.1.6,а), поэтому:

. (1.4)

Найдем производную орта скорости .

  s

R

О

а) б)

Рис.1.6

Из рис.1.6 видно, что за время t орт скорости поворачивается на угол 

и получает приращение . По определению

.

При и. Тогда,- еди-ничный вектор, имеющий такое же направление, как и.

При произвольном переходе единичный вектор превращается в-орт нормали к траектории в той точке, в которой частица была в моментt. Таким образом,

. (1.5)

Подставив (1.5) в (1.4), получим - нормальное уско-рение.

При равномерном движении по окружности ускорение направлено по нормали к скорости. Поэтому называют его нормальным ускорением и в обозначении ставят индекс n.

При неравномерном движении частицы по криволинейной траектории оба множителя в формуле изменяются со временем. Применив правило дифференцирования произведения функций, найдем выражение для ускорения

.

Видно, что в общем случае ускорение распадается на два слагаемых. Одно из них коллинеарно скорости и, следовательно, направлено по касательной к траектории. Поэтому его называют тангенциальным (т.е. касательным) ускорением и обозначают.

Второе слагаемое совпадает с , т.е. определяется формулойи является нормальным ускорением. Первое слагаемое характеризует быстроту изменения модуля скорости, второе быстроту изменения направления скорости. Составляющиеиперпендикулярны друг другу (рис.1.7). Поэтому квадрат модуля ускорения равен сумме квадратов модулей составляющих.

Рис.1.7

Отсюда следует, что полное ускорение будет равно

.

1.4. Движение точки по окружности. Угловая скорость. Угловое ускорение

При вращении твердого тела все его точки движутся по окружности, центры которых лежат на единой прямой, называемой осью вращения. Окружности, по которым движутся точки тела, лежат в плоскости, перпендикулярной к этой оси.

Радиус-вектор каждой точки – есть вектор, проведенный из центра окружности в данную точку. Он поворачивается за время t на один и тот же угол .

Векторная величина называется угловой скоростью, гдеt – время, за которое совершается поворот на угол . Из определения видно, что вращение точки по окружности описывается угловой скоростью .

Вектор направлен вдоль оси, вокруг которой вращается тело в сторону, определяемую правилом правого винта (рис.1.8). Если вращать винт так, чтобы его рукоятка указывала направление вращения твердого тела, то направление движения винта укажет направление векто-

М2



М1

Рис.1.8

ра угловой скорости.

При равномерном вращении угловая скорость , а угол поворота.

Единицей угловой скорости в системе СИ является радиан в секунду .

Угловая скорость  - есть величина постоянная, она указывает, на какой угол поворачивается тело за единицу времени. В этом случае она называется круговой или циклической частотой.

Равномерное движение можно охарактеризовать также периодом обращения. Периодом называется время, за которое тело делает один оборот, т.е. поворачивается на угол 2. Поскольку за время, равное Т совершается угол поворота 2, то

; .

Число оборотов за единицу времени (частоту) обозначим  и выразим период и циклическую частоту через эту величину

; ;.

Угол поворота за время t можно записать через частоту  и полное число оборотов N

; .

При неравномерном вращении величина  изменяется со временем и за промежуток времени t получает приращение .

Величина, характеризующая изменение вектора угловой скорости со временем, называется угловым ускорением

.

Таким образом, изменение угловой скорости по времени характеризуется угловым ускорением , которое определяется как производная угловой скорости по времени

.

Единица измерения углового ускорения . При неподвижной оси вращения векторыиколлинеарны и направлены вдоль оси вращения. Если угловая скорость увеличивается, то векторыиодинаково направлены, если угловая скорость уменьшается, то векторыипротивоположно направлены.

При неравномерном вращении для угла поворота, угловой скорости и ускорения справедливо соотношение

,

где  0 – начальная угловая скорость.

Найдем соотношение между (рис.1.9).

М1

R



s

М2

Рис.1.9

Пусть за малый промежуток времени t тело повернется на угол . Точка М, находящаяся на расстоянии R от оси проходит при этом путь, равный

.

Величина - называ-ется линейной скоростью точки.

Подставляя значение s из предыдущего равенства, получим

,

т.е. линейная скорость точки прямо пропорциональна радиусу и угловой скорости

. (1.6)

Выясним соотношение между и. Нормальное ускорение точек прямо пропорционально квадрату линейной скорости и обратно пропорционально радиусу

. (1.7)

Подставляя в уравнение (1.7) уравнение (1.6), получим следующее выражение для нормального ускорения: .

Модуль тангенциального ускорения равен модулю первой производной от линейной скорости

. (1.8)

Подставляя (1.6) в уравнение (1.8) найдем, что

.

Но так как , то. Для нахождения соотношения между векторамиисделаем чертеж (рис.1.10). Пусть тело вращается вокруг осиz с угловой скоростью . Выберем точку О на оси и проведем радиус-векториз этой точки к точке С. Из треугольника ОАС видно, что. Умножим обе части равенства на и получим cледующее выражение: .

Так как - модуль скорости,- модуль векторного произведения, то

.

Откуда следует, что вектор скорости равен векторному произведению вектора угловой скорости на радиус-вектор:

. (1.9)

Формуле (1.9) можно придать иной вид. Для этого представим

z

A

C

O

Рис.1.10

радиус-вектор в виде суммы двух составляющих и умножим это равенство векторно на:

.

Векторы и - колли-неарны, т.е. , поэтому их векторное произведение равно 0. Следовательно, можно записать, что

. (1.10)

Выведем соотношение для тангенциального и углового ускорения. По определению тангенциальное ускорение есть первая производная от вектора скорости по времени (1.8). Подставляя (1.10) в (1.8), получим

,

т. е. .

studfiles.net

Ускорение | Физика для всех

Ускорение – это величина, которая характеризует быстроту изменения скорости.

Например, автомобиль, трогаясь с места, увеличивает скорость движения, то есть движется ускоренно. Вначале его скорость равна нулю. Тронувшись с места, автомобиль постепенно разгоняется до какой-то определённой скорости. Если на его пути загорится красный сигнал светофора, то автомобиль остановится. Но остановится он не сразу, а за какое-то время. То есть скорость его будет уменьшаться вплоть до нуля – автомобиль будет двигаться замедленно, пока совсем не остановится. Однако в физике нет термина «замедление». Если тело движется, замедляя скорость, то это тоже будет ускорение тела, только со знаком минус (как вы помните, скорость – это векторная величина).

Среднее ускорение

Среднее ускорение> – это отношение изменения скорости к промежутку времени, за который это изменении произошло. Определить среднее ускорение можно формулой:

uskor-01

 

Среднее ускорениеРис. 1.8. Среднее ускорение.В СИ единица ускорения – это 1 метр в секунду за секунду (или метр на секунду в квадрате), то есть

Единица измерения ускорения

Метр на секунду в квадрате равен ускорению прямолинейно движущейся точки, при котором за одну секунду скорость этой точки увеличивается на 1 м/с. Иными словами, ускорение определяет, насколько изменяется скорость тела за одну секунду. Например, если ускорение равно 5 м/с2, то это означает, что скорость тела каждую секунду увеличивается на 5 м/с.

Мгновенное ускорение

Мгновенное ускорение тела (материальной точки) в данный момент времени – это физическая величина, равная пределу, к которому стремится среднее ускорение при стремлении промежутка времени к нулю. Иными словами – это ускорение, которое развивает тело за очень короткий отрезок времени:

Формула мгновенного ускорения

uskor-02

При ускоренном прямолинейном движении скорость тела возрастает по модулю, то есть

v2 > v1

а направление вектора ускорения совпадает с вектором скорости uskor-03

Если скорость тела по модулю уменьшается, то есть

v2 < v1

то направление вектора ускорения противоположно направлению вектора скорости uskor-03 Иначе говоря, в данном случае происходит замедление движения, при этом ускорение будет отрицательным (а < 0). На рис. 1.9 показано направление векторов ускорения при прямолинейном движении тела для случая ускорения и замедления.

Мгновенное ускорение

Рис. 1.9. Мгновенное ускорение.

При движении по криволинейной траектории изменяется не только модуль скорости, но и её направление. В этом случае вектор ускорение представляют в виде двух составляющих (см. следующий раздел).

Тангенциальное ускорение

Тангенциальное (касательное) ускорение – это составляющая вектора ускорения, направленная вдоль касательной к траектории в данной точке траектории движения. Тангенциальное ускорение характеризует изменение скорости по модулю при криволинейном движении.

Тангенциальное ускорение

Рис. 1.10. Тангенциальное ускорение.

Направление вектора тангенциального ускорения uskor-05 (см. рис. 1.10) совпадает с направлением линейной скорости или противоположно ему. То есть вектор тангенциального ускорения лежит на одной оси с касательной окружности, которая является траекторией движения тела.

Нормальное ускорение

Нормальное ускорение – это составляющая вектора ускорения, направленная вдоль нормали к траектории движения в данной точке на траектории движения тела. То есть вектор нормального ускорения перпендикулярен линейной скорости движения (см. рис. 1.10). Нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению и обозначается буквой uskor-06Вектор нормального ускорения направлен по радиусу кривизны траектории.

Полное ускорение

Полное ускорение при криволинейном движении складывается из тангенциального и нормального ускорений по правилу сложения векторов и определяется формулой:

Формула полного ускорения

(согласно теореме Пифагора для прямоугольно прямоугольника).

Направление полного ускорения также определяется правилом сложения векторов:

uskor-04

av-mag.ru

Тангенциальное ускорение

       Тангенциальное ускорение определяется формулой
  ,         или по модулю          (2.3.9)  
где – скорость изменения модуля вектора скорости  . Ускорение тела при его скатывании с наклонной плоскости.        Ускорение характеризует изменение вектора скорости по величине:
  • если , то направлено в ту же сторону, что и вектор  , т.е. ускоренное движение;
  • если , то направлено в противоположную сторону  , т.е. замедленное движение;
  • если , то    и  , т.е. движение с постоянной по модулю скоростью.
Итак можно записать, что суммарный вектор ускорения при движении точки вдоль плоской кривой равен:        Рассмотрим несколько предельных (частных) случаев:
  1. aτ = 0;     an = 0  -  равномерное прямолинейное движение;
  2. aτ = const;     an = 0  -  равноускоренное прямолинейное движение;
  3. aτ = 0;     an = const  -  равномерное движение по окружности.
       Вспомним несколько полезных формул.        При равномерном движении .        При движении с постоянным ускорением .        Если  v =v0 ± at  (а = const), то:        Обратная задача кинематики заключается в том, чтобы по известному значению ускорения  a(t) найти скорость точки и восстановить траекторию движения r(t).        Пусть нам известно ускорение точки в каждый момент времени.        По определению имеем  , отсюда  , так как , следовательно, Ускорение и его составляющие     Нормальное ускорение

ens.tpu.ru