Как в Excel вычислить определённый интеграл. Интеграл в экселе


Как в Excel вычислить определённый интеграл

Давайте разберёмся, как вычислить определённый интеграл таблично заданной функции с помощью программы Excel из состава Microsoft Office.

1Постановкафизической задачи

Допустим, у нас есть таблично заданная некоторая величина. Для примера пусть это будет накопленная доза радиации при авиаперелёте. Скажем, был такой эксперимент: человек с дозиметром летел на самолёте из пункта А в пункт Б и периодически измерял дозиметром мощность дозы (единицы измерений – микрозиверт в час, мкЗв/ч). Возможно, Вас это удивит, но при обычном перелёте на самолёте человек попадает под радиоактивное излучение, превышающее фоновый уровень до 10 раз и даже больше. Но воздействие это кратковременное, и поэтому не столь опасное. По результатам измерений у нас есть таблица вот такого формата: Время – Мощность дозы.

Таблично заданная величинаТаблично заданная величина

2Геометрический смыслопределённого интеграла

Как мы помним из курса школьной алгебры, определённый интеграл – это площадь под графиком нужной нам величины. В нашем примере, чтобы найти накопленную дозу радиации, нужно определить площадь фигуры под графиком таблично заданной мощности дозы. Накопленная доза радиации равна площади фигуры под графиком мощности дозы

График изменения мощности дозы во время полётаГрафик изменения мощности дозы во время полёта

3Методика вычисленияопределённого интеграла

Вычислять интеграл мы будем самым простым, но довольно точным методом – методом трапеций. Напомню, площадь фигуры под графиком любой кривой можно разделить на прямоугольные трапеции. Сумма площадей этих трапеций и будет искомым значением определённого интеграла.

Площадь трапеции определяется как полусумма оснований, умноженная на высоту: S = (A + B) / 2 × h Основания в нашем случае – это табличные измеренные значения мощности дозы за 2 последовательных промежутка времени, а высота – это разница времени между двумя измерениями.

Метод трапеций для вычисления значения определённого интегралаМетод трапеций для вычисления значения определённого интеграла

4Согласованиеединиц измерения

В нашем примере измерения мощности дозы радиации даётся в мкЗв/час, а шкала времени – с точностью до минут. Мы не можем брать интеграл по времени, измеряемому в минутах, для величины, измеряемой в часах.

Поэтому необходимо перевести мкЗв/час в мкЗв/мин.

Для перевода просто разделим мощность дозы в мкЗв/час построчно на количество минут в часе, т.е. на 60. Добавим ещё один столбец в нашу таблицу. На иллюстрации это столбец "D". В столбце "D" в строке 2 вписываем =С2/60 А потом с помощью маркера заполнения распространяем эту формулу на все остальные ячейки в столбце "D", (т.е. тянем мышью чёрный прямоугольник в правом нижнем углу ячейки). Таким образом, в столбце "D" у нас появятся значения мощности дозы радиации, измеряемые в микрозивертах в минуту для каждой минуты перелёта.

Согласуем единицы измерения по шкале времени и шкале мощности дозыСогласуем единицы измерения по шкале времени и шкале мощности дозы

5Вычисление площадей отдельных трапеций

Теперь нужно найти площади трапеций за каждый промежуток времени. В столбце "E" будем вычислять по приведённой выше формуле площади трапеций. Полусумма оснований – это половина суммы двух последовательных мощностей дозы из столбца "D". Так как данные идут с периодом 1 раз в минуту, а мы берём интеграл по времени, выраженному в минутах, то высота каждой трапеции будет равна единице (разница времени между каждыми двумя последовательными измерениями, например, 17ч31мин — 17ч30мин = 0ч1мин = 1мин).

Получаем формулу в ячейке "E3": =1/2*(D3+D2)*1. Понятно, что "×1" в этой формуле можно не писать. И аналогично, с помощью маркера заполнения, распространяем формулу на весь столбец. Теперь в каждой ячейке столбца "Е" посчитана накопленная доза за 1 минуту полёта.

Вычисление площадей прямоугольных трапеций за каждый промежуток времениВычисление площадей прямоугольных трапеций за каждый промежуток времени

Если бы данные шли не через 1 минуту, то нам нужно было бы написать формулу так:=1/2*(D3+D2)*(МИНУТЫ(A3) – МИНУТЫ(A2)). Правда при этом, если есть переход на следующий час, то получится отрицательное значение. Чтобы этого не произошло, впишем в формулу часы:=1/2*(D3+D2)*(ЧАС(A3)*60+МИНУТЫ(A3)) – (ЧАС(A2)*60+МИНУТЫ(A2)).Если переходим на следующие сутки, то нужно будет уже добавлять даты, и т.д.

5Определение площадипод графиком функции

Осталось найти сумму вычисленных площадей трапеций. Можно в ячейке "F2" написать формулу: =СУММ(E:E) Это и будет сумма всех значений в столбце "E", т.е. численное значение искомого определённого интеграла.

Но давайте сделаем вот что: определим накопленную дозу в разные моменты полёта. Для этого в ячейку "F4" впишем формулу =СУММ(E$3:E4) и маркером заполнения распространим на весь столбец "F".

Обозначение E$3 говорит программе Excel, что увеличивать индекс ячейки "3" в столбце "E" при переносе формулы на следующие строки не нужно. Т.е. в строке 4 формула будет определять сумму в ячейках с "Е3" по "Е4", в строке 5 – сумму с "Е3" по "Е5", в строке 6 – с "Е3" по "Е6" и т.д.

Построим график по столбцам "F" и "A". Это график изменения накопленной дозы радиации во времени. Наглядно видно монотонное увеличение накопленной дозы радиации за время полёта. Это говорит о том, что мы правильно рассчитали интеграл. И окончательное значение накопленной за двухчасовой полёт дозы радиации, которое получается в последней ячейке этого столбца, равно примерно 4,5 микрозиверт.

Вычисление суммарной площади всех трапеций, что численно равно искомому определённому интегралуВычисление суммарной площади всех трапеций, что численно равно искомому определённому интегралу

Таким образом, мы только что нашли определённый интеграл таблично заданной функции в программе Excel на реальном физическом примере. В качестве приложения к статье – файл Excel с нашим примером.

soltau.ru

Вычисление интегралов в Excel. Метод Симпсона.

Опубликовано 10 Авг 2015Рубрика: Справочник Excel | 13 комментариев

Метод Симпсона.При стремлении постичь нечто сложное, громоздкое, непонятное следует «разбить» его на как можно большее количество простых, мелких, понятных частей, изучить их с помощью существующих инструментов, а затем «сложить» эти результаты и получить итоговый ответ.

Формулировка в предыдущем предложении определяет сущность понятия интегрирования.

Интеграл чего-либо – это сумма всех малых частей этого чего-либо. Чем больше количество этих малых частей, тем точнее значение интеграла соответствует действительности, определяя признак изучаемого объекта.

Интегрирование применимо для изучения свойств физических и философских объектов при условии, что эти свойства остаются неизменными как для «мелкой» части, так и для всего объекта в целом.

Функция – это описание зависимости некоторого признака или свойства объекта от аргумента.

Например:

Объект – плоская фигура между графиком функции и осью абсцисс.

Признак (значение функции) – высота фигуры.

Аргумент (независимая переменная) – ширина фигуры.

Функция – описание зависимости высоты от ширины.

Определенный интеграл функции – площадь фигуры. Площадь тоже является признаком фигуры, но зависит от двух переменных – высоты и ширины – и представляет собой качественно иной новый признак.

Теория.

Подробно рассмотрим два наиболее точных метода численного интегрирования функции одной переменной – метод трапеций и метод парабол или метод Симпсона. Есть еще метод прямоугольников, но мы его проигнорируем из-за невысокой точности.

Все, что требуется для понимания и применения метода трапеций и метода Симпсона на практике представлено далее на рисунке.

Методы численного интегрирования: метод трапеций и метод Симпсона.

Площадь под кривой y = f (x) разбиваем на n-1 криволинейных трапеций, у которых три стороны – это прямые линии, а одна сторона – участок кривой y=f (x). Суммарная площадь под графиком функции на участке от x1 до xn – это и есть искомая величина, которая является определенным интегралом функции на этом участке и находится как сумма площадей всех криволинейных трапеций.

Точно вычислить аналитически площадь криволинейной трапеции бывает сложно или даже невозможно.

Для приближенного вычисления площади криволинейной трапеции можно заменить участок кривой прямой линией и, получив простую фигуру – обычную трапецию, найти по известной формуле ее площадь. В этом суть метода трапеций.

Если участок кривой линии над двумя криволинейными трапециями заменить параболой, проведенной через три характерные точки, то получим новую криволинейную трапецию с одной из сторон в виде параболы. Количество новых фигур будет в два раза меньше, чем количество исходных трапеций. Площадь этих новых фигур вычисляется по простой формуле. В этом смысл метода Симпсона.

Идею замены участка любой кривой участком параболы высказывал Исаак Ньютон, но первым вывел формулу английский математик Томас Симпсон. Метод Симпсона для вычисления интегралов является самым точным из приближенных численных методов.

Если вычисление интегралов методом трапеций не имеет ограничений, то для того, чтобы реализовать метод Симпсона необходимо выполнить два условия.

1. Разбить площадь на четное количество частей, то есть n должно быть нечетным числом!

2. Расстояния между точками по оси x должны быть одинаковыми!

Практика вычисления интегралов в Excel.

Определенной сложностью является связать вычисление интегралов с реальными задачами из жизни. Рассмотрение примеров – лучший способ устранения подобных препятствий.

Определение тепловой энергии.

Мой знакомый из города Улан-Удэ Алексей Пыкин проводит испытания  воздушных солнечных PCM-коллекторов производства КНР. Воздух из помещения подается вентилятором в коллекторы, нагревается от солнца и поступает назад в помещение. Каждую минуту измеряется и записывается температура воздуха на входе в коллекторы и на выходе при постоянном воздушном потоке. Требуется определить количество тепловой энергии полученной в течение суток.

Более подробно о преобразовании солнечной энергии в тепловую и электрическую и об экспериментах Алексея я постараюсь рассказать в отдельной статье. Следите за анонсами, многим, я думаю, это будет интересно.

Запускаем MS Excel и начинаем работу – выполняем вычисление интеграла.

Заполним таблицу.

1. В столбец B вписываем время проведения измерения τi.

2. В столбец C заносим температуры нагретого воздуха t2i, измеренные на выходе из коллекторов в градусах Цельсия.

3. В столбец D записываем температуры холодного воздуха t1i, поступающего на вход коллекторов.

Вычисление интегралов -1-24s

4. В столбце E вычисляем разности температур dti на выходе и входе

dti=t2i-t1i

5. Зная удельную теплоемкость воздуха c=1005 Дж/(кг*К) и его постоянный массовый расход (измеренная производительность вентилятора) G=0,02031 кг/с, определяем мощность установки Niв КВт в каждый из моментов времени в столбце F

Ni=c*G*dti

На графике ниже показана экспериментальная кривая зависимости мощности, развиваемой коллекторами, от времени.

График тепловой мощности -24s

Количество тепловой энергии, выработанной за промежуток времени – это интеграл этой функции, и значение интеграла – это заштрихованная площадь под кривой.

6. Вычисляем в ячейках столбца G площади трапеций, суммируем их и находим общее количество энергии, выработанной за день

Qi=(Ni+1+Ni)*(τi+1-τi)/2

Q=ΣQi=10,395 КВт*час

7. Рассчитываем в ячейках столбца H элементарные площади по методу парабол, суммируем их и находим общее количество энергии по методу Симпсона

Qj=(Ni+4*Ni+1+Ni+2)*(τi+1-τi)/3

Q=ΣQj=10,395 КВт*час

Как видим, значения не отличаются друг от друга. Оба метода демонстрируют одинаковые результаты!

Исходная таблица содержит 421 строку. Давайте уменьшим её в 30 раз и оставим всего 15 строк, увеличив тем самым интервалы между замерами с 1 минуты до 30 минут.

Вычисление интегралов -2-24s

По методу трапеций: Q=10,220 КВт*час (-1,684%)

По методу Симпсона: Q=10,309 КВт*час (-0,827%)

Не смотря на оставшуюся неожиданно весьма высокую точность полученных результатов, метод трапеций дает в данном случае относительную ошибку в 2 раза большую, чем метод Симпсона.

Общие выводы.

Вычисление интегралов численными методами в Excel позволяет эффективно и быстро решать сложные практические задачи, обеспечивая очень высокую точность результатов.

Так как мы существуем в пространстве и времени, то и всё окружающее нас изменяется или в пространстве или во времени. Это означает, что аргументом x функций y интересующих нас процессов или объектов чаще всего являются длина или время. Например, пройденный путь – это интеграл функции скорости (аргумент – время), площадь плотины – это интеграл функции высоты (аргумент – длина), и т.д.

Понимание сути интегрального исчисления и умение использовать его на практике вооружает вас, как специалиста, мощным оружием в осознанном изучении окружающего мира!

Отзывы и комментарии к статье, уважаемые читатели, пишите в блоке, расположенном ниже статьи.

Чтобы получать информацию о выходе новых статей на блоге подпишитесь на анонсы в окне, расположенном вверху страницы или сразу после статьи. Введите адрес своей электронной почты, нажмите на кнопку «Получать анонсы статей» и подтвердите подписку кликом по ссылке в письме, которое придет к вам на указанную почту. С этого момента к вам на почтовый ящик будет пару раз в месяц приходить небольшое уведомление о появлении на моем блоге новой статьи.

Прошу УВАЖАЮЩИХ труд автора скачать файл ПОСЛЕ ПОДПИСКИ на анонсы статей.

Ссылка на скачивание файла с примером: vychisleniye-integralov (xls 216,0KB).

Другие статьи автора блога

На главную

Статьи с близкой тематикой

Отзывы

al-vo.ru

Раздел 2 - вычисление в ms excel определенных интегралов

Цель работы: Освоение приемов работы в Ms Excel при вычислении сумм и интегралов.

Содержание работы

1. Приближенное вычисление определенных интегралов методом прямоугольников и методом трапеций.

2. Приближенное вычисление длины кривой.

3. Проведение экспериментов и решение задач.

Пояснения к выполнению работы

1. С геометрической точки зрения определенный интеграл – есть площадь фигуры, ограниченной графиком функциии прямыми,,. Функцияназывается подынтегральной функцией.

Чтобы приближенно вычислить эту площадь, разделим интервал интегрирования наравных отрезков длинойкаждый. Тогда координата левого концаi-го отрезка определяется по формуле , где,. Простейший приближенный расчет площади под кривойсостоит в нахождении суммы площадей прямоугольников, у каждого из которых основание совпадает с отрезком, а высота равна значению функции в точке(метод левых прямоугольников). Можно высоту брать равной значению функции в точке(метод правых прямоугольников) или в точке(метод центральных прямоугольников). При использовании метода левых прямоугольников формула для вычисления площади выглядит следующим образом:

.

Можно повысить точность вычисления определенного интеграла, если заменить на каждом интервале ,дугу графикаотрезком (хордой), соединяющем точки с координатамии. В этом случае фигура, ограниченная графиком функции и прямыми,, приближенно заменяется не прямоугольником, а трапецией, и искомый определенный интеграл рассчитывается как сумма площадей всех таких трапеций:

.

Формула может быть существенно упрощена, но мы оставим это для курса вычислительной математики (сейчас можете попытаться упростить ее самостоятельно).

2. Замена графика функции хордами, описанная в методе трапеций, позволяет при помощи электронных таблиц довольно легко определять приближенное значение длины дуги графикана интервале. В этой задаче рассматриваемая кривая представляется в виде ломанной, длина s которой равна сумме длин её звеньев. Длинузвена, построенного на отрезке, можно найти как длину гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами, равнымии, используя известную теорему Пифагора. В результате суммирования длин всех звеньев, получаем:

.

Следует отметить, что точность приближенного вычисления интегралов зависит от величины , то есть от количества отрезков, на которые разбивается интервал интегрирования. При отсутствии погрешностей округления, чем больше, тем выше точность (с ростомN погрешность вычислений сходится к нулю).

3. В качестве примера вычислим интеграл с точностью представления результатов вычислений до 4 знаков после запятой.

В ячейку А6 вводим нижнюю границу интервала интегрирования , равную 0,5. В следующую ячейкуА7 вводим значение 0,51, отстоящее от нижней границы на шаг . Рекомендуется выбирать шаг в зависимости от требуемой точности вычисления интеграла. Затем выделяем обе ячейкиА6 и А7. В правой нижней части выделенной области есть жирная черная точка – маркер заполнения, – тянем её мышкой вниз, пока не получим число, соответствующее верхней границе интеграла, т. е. значению . Это достигается в ячейкеА206.

Выделим мышкой столбцы С, Е и G, указывая мышкой их заголовки. Вызовем с помощью правой кнопки мыши контекстное меню выделенных столбцов и выберем в нем опцию Формат ячеек. Далее, на закладке Число, выберем в качестве числового формата – Числовой и укажем отображаемое число десятичных знаков 4. Нажмем клавишу OК.

3.1. Теперь вычислим определенный интеграл с помощью метода левых прямоугольников. Для этого введем в ячейку С6 формулу =(А7-А6)*(Ln(А6)) (величина логарифма и есть высота соответствующего прямоугольника). Выделим ячейку С6 и протянем маркер заполнения вниз, до ячейки С205. Таким образом, в столбце C мы получили площади всех прямоугольников.

Выделим ячейку С206 и нажмем на кнопку Автосумма на панели Стандартные. Нажмем Enter, подтверждая этим предложенную формулу. В результате получим сумму всех выше расположенных чисел в столбце, т. е. значение интеграла, вычисленное методом прямоугольников.

3.2. Вычислим определенный интеграл с помощью метода трапеций. Для этого введем в ячейку Е6 следующую формулу =(А7-А6)*(Ln(А7)+Ln(А6))/2. Выделите ячейку Е6 и протяните маркер заполнения вниз до ячейки Е205. Так мы вычислили площади всех трапеций. Выделив ячейку Е206, вычислите их сумму с помощью кнопки Автосумма на панели Стандартные. Мы получили значение интеграла, найденное методом трапеций.

3.3. Вычислим длину графика функции на интервале [0,5; 2,5].

Для вычисления длин хорд введите в ячейку G6 формулу =((A7-A6)^2+(Ln(A7)-Ln(A6))^2)^(0,5). Выделите ячейку G6 и протяните маркер заполнения вниз до ячейки G205. В ячейке G206, используя Автосумму, найдите приближенное значение искомой длины графика.

3.4. Повторите в соседних столбцах все расчеты при меньшем шаге интегрирования, например, при шаге 0,001. Сравните результаты с полученными ранее. Проанализируйте их и сделайте выводы.

3.5. Вычисления провести по варианту и записать в отчет.

studfiles.net

Как в Excel вычислить определённый интеграл

Давайте разберёмся, как вычислить определённый интеграл таблично заданной функции с помощью программы Excel из состава Microsoft Office.

1Постановкафизической задачи

Допустим, у нас есть таблично заданная некоторая величина. Для примера пусть это будет накопленная доза радиации при авиаперелёте. Скажем, был такой эксперимент: человек с дозиметром летел на самолёте из пункта А в пункт Б и периодически измерял дозиметром мощность дозы (единицы измерений – микрозиверт в час, мкЗв/ч). Возможно, Вас это удивит, но при обычном перелёте на самолёте человек попадает под радиоактивное излучение, превышающее фоновый уровень до 10 раз и даже больше. Но воздействие это кратковременное, и поэтому не столь опасное. По результатам измерений у нас есть таблица вот такого формата: Время – Мощность дозы.

Таблично заданная величинаТаблично заданная величина

2Геометрический смыслопределённого интеграла

Как мы помним из курса школьной алгебры, определённый интеграл – это площадь под графиком нужной нам величины. В нашем примере, чтобы найти накопленную дозу радиации, нужно определить площадь фигуры под графиком таблично заданной мощности дозы. Накопленная доза радиации равна площади фигуры под графиком мощности дозы

График изменения мощности дозы во время полётаГрафик изменения мощности дозы во время полёта

3Методика вычисленияопределённого интеграла

Вычислять интеграл мы будем самым простым, но довольно точным методом – методом трапеций. Напомню, площадь фигуры под графиком любой кривой можно разделить на прямоугольные трапеции. Сумма площадей этих трапеций и будет искомым значением определённого интеграла.

Площадь трапеции определяется как полусумма оснований, умноженная на высоту: S = (A + B) / 2 × h Основания в нашем случае – это табличные измеренные значения мощности дозы за 2 последовательных промежутка времени, а высота – это разница времени между двумя измерениями.

Метод трапеций для вычисления значения определённого интегралаМетод трапеций для вычисления значения определённого интеграла

4Согласованиеединиц измерения

В нашем примере измерения мощности дозы радиации даётся в мкЗв/час, а шкала времени – с точностью до минут. Мы не можем брать интеграл по времени, измеряемому в минутах, для величины, измеряемой в часах.

Поэтому необходимо перевести мкЗв/час в мкЗв/мин.

Для перевода просто разделим мощность дозы в мкЗв/час построчно на количество минут в часе, т.е. на 60. Добавим ещё один столбец в нашу таблицу. На иллюстрации это столбец "D". В столбце "D" в строке 2 вписываем =С2/60 А потом с помощью маркера заполнения распространяем эту формулу на все остальные ячейки в столбце "D", (т.е. тянем мышью чёрный прямоугольник в правом нижнем углу ячейки). Таким образом, в столбце "D" у нас появятся значения мощности дозы радиации, измеряемые в микрозивертах в минуту для каждой минуты перелёта.

Согласуем единицы измерения по шкале времени и шкале мощности дозыСогласуем единицы измерения по шкале времени и шкале мощности дозы

5Вычисление площадей отдельных трапеций

Теперь нужно найти площади трапеций за каждый промежуток времени. В столбце "E" будем вычислять по приведённой выше формуле площади трапеций. Полусумма оснований – это половина суммы двух последовательных мощностей дозы из столбца "D". Так как данные идут с периодом 1 раз в минуту, а мы берём интеграл по времени, выраженному в минутах, то высота каждой трапеции будет равна единице (разница времени между каждыми двумя последовательными измерениями, например, 17ч31мин — 17ч30мин = 0ч1мин = 1мин).

Получаем формулу в ячейке "E3": =1/2*(D3+D2)*1. Понятно, что "×1" в этой формуле можно не писать. И аналогично, с помощью маркера заполнения, распространяем формулу на весь столбец. Теперь в каждой ячейке столбца "Е" посчитана накопленная доза за 1 минуту полёта.

Вычисление площадей прямоугольных трапеций за каждый промежуток времениВычисление площадей прямоугольных трапеций за каждый промежуток времени

Если бы данные шли не через 1 минуту, то нам нужно было бы написать формулу так:=1/2*(D3+D2)*(МИНУТЫ(A3) – МИНУТЫ(A2)). Правда при этом, если есть переход на следующий час, то получится отрицательное значение. Чтобы этого не произошло, впишем в формулу часы:=1/2*(D3+D2)*(ЧАС(A3)*60+МИНУТЫ(A3)) – (ЧАС(A2)*60+МИНУТЫ(A2)).Если переходим на следующие сутки, то нужно будет уже добавлять даты, и т.д.

5Определение площадипод графиком функции

Осталось найти сумму вычисленных площадей трапеций. Можно в ячейке "F2" написать формулу: =СУММ(E:E) Это и будет сумма всех значений в столбце "E", т.е. численное значение искомого определённого интеграла.

Но давайте сделаем вот что: определим накопленную дозу в разные моменты полёта. Для этого в ячейку "F4" впишем формулу =СУММ(E$3:E4) и маркером заполнения распространим на весь столбец "F".

Обозначение E$3 говорит программе Excel, что увеличивать индекс ячейки "3" в столбце "E" при переносе формулы на следующие строки не нужно. Т.е. в строке 4 формула будет определять сумму в ячейках с "Е3" по "Е4", в строке 5 – сумму с "Е3" по "Е5", в строке 6 – с "Е3" по "Е6" и т.д.

Построим график по столбцам "F" и "A". Это график изменения накопленной дозы радиации во времени. Наглядно видно монотонное увеличение накопленной дозы радиации за время полёта. Это говорит о том, что мы правильно рассчитали интеграл. И окончательное значение накопленной за двухчасовой полёт дозы радиации, которое получается в последней ячейке этого столбца, равно примерно 4,5 микрозиверт.

Вычисление суммарной площади всех трапеций, что численно равно искомому определённому интегралуВычисление суммарной площади всех трапеций, что численно равно искомому определённому интегралу

Таким образом, мы только что нашли определённый интеграл таблично заданной функции в программе Excel на реальном физическом примере. В качестве приложения к статье – файл Excel с нашим примером.

soltau.ru

Численное вычисление интегралов



  5.3. Численное вычисление определенных интегралов

 Технология приближенного вычисления

Для численного вычисления определенного интеграла существует несколько методов. Наиболее простым является метод трапеций. Для вычисления определенного интеграла по методу трапеций используется формула:

Технология вычисления определенного интеграла в электронной таблице основана на построении табличных значений подинтегрального выражения для каждого шага интегрирования. Используя его можно получить лишь приближенное значение интеграла. Технологию численного вычисления определенного интеграла в Excel с использованием формулы трапеций рассмотрим на примере.

Пример 19. Требуется вычислить определенный интеграл      Величина интеграла, вычисленная аналитически, равна 9.

Решение:

1. Табулируйте подинтегральную функцию в диапазоне изменения значений аргумента 0 – 3 с шагом 0,2 (рис. 30)

 Рисунок 30

2. В ячейку С2 введите формулу = (A3-A2)*B2+(A3-A2)*(B3-B2)/2, которая реализует часть приведенной выше формулы, размещенной правее знака суммы, т.е вычисляет величину элементарной площадки (трапеции).

3. Скопируйте буксировкой формулу, записанную в ячейке С2 до значения ар-гумента х = 2,8.

4. В ячейке С17 просуммируйте с помощью автосуммирования полученные ре-зультаты. Вычисленное значение в ячейке С17 и будет величиной интеграла - 9.

Технология точного вычисления

Технология точного вычисления основана на использовании аппарата циклических ссылок и итераций. Применение этой технологии позволяет задавать достаточно малый шаг интегрирования, что увеличивает точность вычислений. Для точного вычисления нужно выполнить следующие операции:

1.   Определить на сколько интервалов нужно разбить диапазон интегрирования, чтобы получить требуемую точность, и задать их количество в виде количества итераций. Положим для решения нашей задачи достаточно 10000 интервалов.

2.  Выполним команду меню Сервис ð Параметры, откроем закладку Вычисления в диалоговом окне Параметры и в поле Предельное число итераций введем число 10000. Если установлен флажок Итерации, то выключим его. Закроем диалоговое окно Параметры.

3.  В ячейки рабочего листа введем исходные данные и формулы для вычислений (рис. 31).

Рис. 31

В ячейке В6 формула =(B4-B2)/B5 вычисляет шаг интегрирования. В ячейке С3 формула = 0+C3+B6 – вычисляет текущее значение аргумента х. Значение 0 в формуле устанавливает нижний предел интегрирования. В формуле есть циклическая ссылка на эту же ячейку  - С3 +В6, она реализует накопление величины х относительно нижнего предела.

В ячейке D3 записана формула, реализующая метод трапеций и накопление суммы площадей элементарных трапеций.

4.  После ввода исходных данных и формул вновь выполним команду меню Сервис ð Параметры, откроем закладку Вычисления в диалоговом окне Параметры и установим флажок Итерации. Щелкнем на кнопке ОК. Потребуется некоторое время для того, чтобы табличный процессор выполнил заданное количество циклов итераций и вычислил результат (рис. 44).

5.  После завершения вычислений вновь вызовем диалоговое окно Параметры и выключим флажок Предельное число итераций.

  К предыдущей    К следующей    Открыть содержание темы Hosted by uCoz

piter-melnikov.narod.ru

Как вычислить определённый интеграл в Excel

Содержание

  1. Вам понадобится
  2. Инструкция

Как вычислить определённый интеграл в Excel

Давайте разберёмся, как вычислить определённый интеграл таблично заданной функции с помощью программы Excel из состава Microsoft Office.

Вам понадобится

  • - компьютер с установленным приложением MS Excel;
  • - таблично заданная функция.

Инструкция

  • Допустим, у нас есть таблично заданная некоторая величина. Для примера пусть это будет накопленная доза радиации при авиаперелёте. Скажем, был такой эксперимент: человек с дозиметром летел на самолёте из пункта А в пункт Б и периодически измерял дозиметром мощность дозы (измеряется в микрозивертах в час). Вас, возможно, это удивит, но при обычном перелёте на самолёте человек получает дозу радиации в 10 раз больше, чем фоновый уровень. Но воздействие это кратковременное и поэтому не опасное. По результатам измерений у нас есть таблица вот такого формата: Время - Мощность дозы.
  • Суть метода в том, что определённый интеграл - это площадь под графиком нужной нам величины. В нашем примере, если полёт длился почти 2 часа, с 17:30 до 19:27 (см. рисунок), то чтобы найти накопленную дозу, нужно определить площадь фигуры под графиком мощности дозы - графиком таблично заданной величины.
  • Вычислять интеграл мы будем самым простым, но довольно точным методом - методом трапеций. Напомню, каждую кривую можно разделить на трапеции. Сумма площадей этих трапеций и будет искомым интегралом.Площадь трапеции определяется просто: полусумма оснований, умноженная на высоту. Основания в нашем случае - это табличные измеренные значения мощности дозы за 2 последовательных промежутка времени, а высота - это разница времени между двумя измерениями.
  • В нашем примере измерения мощности дозы радиации даётся в мкЗв/час. Переведём это в мкЗв/мин, т.к. данные даются с периодичностью 1 раз в минуту. Это нужно для согласования единиц измерения. Мы не можем брать интеграл по времени, измеряемому в минутах, от величины, измеряемой в часах. Для перевода просто разделим мощность дозы в мкЗв/час построчно на 60. Добавим ещё один столбец в нашу таблицу. На иллюстрации в столбце "D" в строке 2 вписываем "=С2/60". А потом с помощью маркера заполнения (тянем мышью чёрный прямоугольник в правом нижнем углу ячейки) распространяем эту формулу на все остальные ячейки в столбце "D".
  • Теперь нужно найти площади трапеций за каждый промежуток времени. В столбце "E" будем вычислять по приведённой выше формуле площади трапеций.Полусумма оснований - это половина суммы двух последовательных мощностей дозы из столбца "D". Так как данные идут с периодом 1 раз в минуту, а мы берём интеграл по времени, выраженному в минутах, то высота каждой трапеции будет равна единице (разница времени между каждыми двумя последовательными измерениями, например, 17ч31м - 17ч30м = 0ч1м).Получаем формулу в ячейке "E3": "=1/2*(D2+D3)*1". Понятно, что "*1" можно не писать, я сделал это просто для полноты картины. Рисунок поясняет всё более наглядно. Аналогично, с помощью маркера заполнения, распространяем формулу на весь столбец. Теперь в каждой ячейке столбца "Е" посчитана накопленная доза за 1 минуту полёта.
  • Осталось найти сумму вычисленных площадей трапеций. Можно в ячейке "F2" написать формулу "=СУММ(E:E)", это и будет искомым интегралом - сумма всех значений в столбце "E".Можно сделать немного сложнее, чтобы определить накопленную дозу в разные моменты полёта. Для этого в ячейке "F4" впишем формулу: "=СУММ(E$3:E4)" и маркером заполнения распространим на весь столбец "F". Обозначение "E$3" говорит программе Excel, что менять индекс первой ячейки, от которой ведём счёт, не нужно. Построим график по столбцам "F" и "A", т.е. изменение накопленной дозы радиации во времени. Наглядно видно увеличение интеграла, как и должно быть, и окончательное значение накопленной за двухчасовой полёт дозы радиации равно примерно 4,5 микрозиверт.Таким образом, мы только что нашли определённый интеграл таблично заданной функции в программе Excel на реальном физическом примере.

completerepair.ru

Pers.narod.ru. Обучение. Excel - считаем определённые интегралы

Pers.narod.ru. Обучение. Excel - считаем определённые интегралы

Этот сайт больше не обновляется. Подключите Javascript, чтобы увидеть новый адрес страницы или перейдите к статье

Документ представляет собой "заготовку" для численного вычисления определённых интегралов в Excel. Интеграл считается методами левых прямоугольников (ЛП), средних прямоугольников (СП), правых прямоугольников (ПП), трапеций (Трап.) и Симпсона (Симп.). При введённом точном значениии интеграла в учебных целях оцениваются погрешности методов. Теория по методам есть, например, здесь.

С помощью функции ЕСЛИ здесь обеспечивается автозаполнение таблиц численного интегрирования, так что для пересчёта интегралов с более мелким шагом достаточно изменить значение в ячейке h4, отведённой для хранения числа интервалов, на которые разбивается отрезок [A,B].

Ограничение N связано лишь с тем, что формулы растянуты вниз до 100-й строки, если растянуть дальше, его можно изменить.

К сожалению, без применения макросов на VBA в Excel проблематично запрограммировать функцию, которую можно было бы вызывать без включения её непосредственно в текст формулы, так что при интегрировании другой функции её нужно "вбить" в ячейки B2 (от аргумента A2) и D2 (от аргумента C2), после чего растянуть изменённые формулы. Разумеется, точное значение интеграла в ячейке H9 и картинку из Mathcad, в котором оно вычислено, также можно и нужно менять.

 Скачать пример в Excel XP/2003 (56 Кб)

Hosted by uCoz

pers.narod.ru