Высота и сторона "A" равнобедренного треугольника. Формула основание равнобедренного треугольника


Формулы равнобедренного треугольника

Определение и формулы равнобедренного треугольника

Равнобедренный треугольник

Формулы, выражающие стороны равнобедренного треугольника:

    \[a=\frac{b}{2} \cos \alpha =\frac{h}{\sin \alpha } =\frac{b}{2\sin \frac{\beta }{2}} ,\ b=2a\cos \alpha =2a\sin \frac{\beta }{2} \]

Площадь равнобедренного треугольника:

    \[S=\frac{1}{2} a^{2} \sin \beta ,\ S=\frac{1}{2} ab\sin \alpha ,\ S=\frac{1}{2} ah,\ S=\frac{b}{4} \sqrt{4a^{2} -b} \]

Радиус вписанной окружности

    \[r=\frac{b}{2} \sqrt{\frac{2a-b}{2a+b}} \]

Радиус описанной окружности

    \[R=\frac{a^{2}}{\sqrt{4a^{2} -b^{2}} } \]

Примеры решения задач

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com

Формула основание равнобедренного треугольника | Помощь школьнику

В этой статье мы разберем несколько типовых задач по теме различных уровней сложности. Другие задачи на тему «Равномерное прямолинейное движение» смотрите в этом разделе! Доброго времени суток, дорогие семиклассники и те, у кого есть вопросы по задачам! Итак, для.

Стороны равнобедренного треугольника

Равнобедренный треугольник имеет две равные по значению боковые стороны a и основание b. Это позволяет рассчитать любые параметры треугольника, необходимые для решения задачи. Периметр равнобедренного треугольника равен удвоенной боковой стороне в сумме с основанием. (рис.88.1) P=2a+b

Высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, делит его на два конгруэнтных прямоугольных треугольника, с половиной основания в качестве второго катета и боковой стороной как гипотенузой. Такая высота одновременно является и медианой и биссектрисой. Найти ее можно по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника. (рис.88.2) h_b=m_b=l_b=√(a^2-(b/2)^2 )=√(4a^2-b^2 )/2

Остальные две высоты равны друг другу и считаются через формулу с произведением разностей полупериметров и сторон, где приравнены боковые стороны. (рис.88.8) h_a=(b√((4a^2-b^2)))/2a

Зная высоту, найти площадь равнобедренного треугольника можно, подставив полученное выражение в формулу, по которой площадь равна половине основания, умноженной на его высоту. S=hb/2=(b√(4a^2-b^2 ))/4

Углы в равнобедренном треугольнике распределяются следующим образом – углы при основании друг другу конгруэнтны, также как и боковые стороны, а в сумме все три угла дают 180 градусов, поэтому найти их можно двумя видами разности. α=(180°-β)/2 β=180°-2α

Если ни один из углов не дан, но есть все стороны, то можно воспользоваться теоремой косинусов, чтобы найти любой угол. cos⁡α=(b^2+c^2-a^2)/2bc=(b^2+a^2-a^2)/2ba=b^2/2ba=b/2a cos⁡β=(a^2+a^2-b^2)/(2a^2 )=(2a^2-b^2)/(2a^2 )

Медиана и биссектриса, опущенные на основание, вычисляются по формуле высоты, приведенной выше, а оставшиеся две медианы (равно как и две биссектрисы) равны друг другу, поскольку строятся на равных боковых сторонах. Вычислить медиану можно, упростив формулу произвольного треугольника. (рис. 88.3) m_a=√(2a^2+2b^2-a^2 )/2=√(a^2+2b^2 )/2

В формуле биссектрисы аналогично приравниваются боковые стороны, и ее становится возможным вычислить по упрощенной схеме. (рис. 88.4) l_a=√(ab(2a+b)(a+b-a) )/(a+b)=(b√(a(2a+b) ))/(a+b)

Средняя линия равнобедренного треугольника, параллельная основанию, равна его половине, а средние линии, параллельные боковым сторонам, равны между собой и также равны половинам самих боковых сторон. (рис. 88.5) M_b=b/2 M_a=a/2

Радиус окружности, вписанной в равнобедренной треугольник, является производной формулы для произвольного треугольника, и рассчитать его можно, зная боковую сторону и основание. (рис. 88.6) r=b/2 √((2a-b)/(2a+b))

Радиус окружности, описанной вокруг равнобедренного треугольника, также выводится из общей формулы и выглядит упрощенно следующим образом. (рис. 88.7) R=a^2/√(4a^2-b^2 )

Формула основание равнобедренного треугольника

Как найти основание равнобедренного треугольника?

Равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого 2 стороны равны. Равные стороны — это рёбра, а 3 сторона — основание.

Если известно, чему равна боковая сторона, а также высота, опущенная на основание.

Как известно, высота перпендикулярна основанию, а в случае с равнобедренным треугольником она разбивает его на 2 равных прямоугольных треугольника.

Можно по теореме Пифагора найти половину основания, а затем это значение умножить на 2.

Если известно, чему равна боковая сторона и один из углов.

Нужно воспользоваться теоремой синусов:

A/sinα = b/sinβ = c/sinγ.

Так как в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то легко можно найти 2 оставшихся угла, исходя из того, что сумма 3 углов равна 180 градусов.

Для того, чтобы найти основание равнобедренного треугольника? нам необходимо знать или один из углов, или же высоту треугольника, которая проводится к его основанию. Основание можно вычислить по следующей, вполне легкой формуле:

B — длина основания треугольника;

A — длина стороны треугольника;

B — это угол, который противоположен основанию.

Что бы найти основание равнобедренного треугольника я делаю так — сумму сторон делю на три, потом умножаю на два и из суммы всех сторон вычисляю сумму боковых сторон.

Формула основание равнобедренного треугольника

Стороны равнобедренного треугольника

Равнобедренный треугольник имеет две равные по значению боковые стороны a и основание b. Это позволяет рассчитать любые параметры треугольника, необходимые для решения задачи. Периметр равнобедренного треугольника равен удвоенной боковой стороне в сумме с основанием. (рис.88.1) P=2a+b

Высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, делит его на два конгруэнтных прямоугольных треугольника, с половиной основания в качестве второго катета и боковой стороной как гипотенузой. Такая высота одновременно является и медианой и биссектрисой. Найти ее можно по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника. (рис.88.2) h_b=m_b=l_b=√(a^2-(b/2)^2 )=√(4a^2-b^2 )/2

Остальные две высоты равны друг другу и считаются через формулу с произведением разностей полупериметров и сторон, где приравнены боковые стороны. (рис.88.8) h_a=(b√((4a^2-b^2)))/2a

Зная высоту, найти площадь равнобедренного треугольника можно, подставив полученное выражение в формулу, по которой площадь равна половине основания, умноженной на его высоту. S=hb/2=(b√(4a^2-b^2 ))/4

Углы в равнобедренном треугольнике распределяются следующим образом – углы при основании друг другу конгруэнтны, также как и боковые стороны, а в сумме все три угла дают 180 градусов, поэтому найти их можно двумя видами разности. α=(180°-β)/2 β=180°-2α

Если ни один из углов не дан, но есть все стороны, то можно воспользоваться теоремой косинусов, чтобы найти любой угол. cos⁡α=(b^2+c^2-a^2)/2bc=(b^2+a^2-a^2)/2ba=b^2/2ba=b/2a cos⁡β=(a^2+a^2-b^2)/(2a^2 )=(2a^2-b^2)/(2a^2 )

Медиана и биссектриса, опущенные на основание, вычисляются по формуле высоты, приведенной выше, а оставшиеся две медианы (равно как и две биссектрисы) равны друг другу, поскольку строятся на равных боковых сторонах. Вычислить медиану можно, упростив формулу произвольного треугольника. (рис. 88.3) m_a=√(2a^2+2b^2-a^2 )/2=√(a^2+2b^2 )/2

В формуле биссектрисы аналогично приравниваются боковые стороны, и ее становится возможным вычислить по упрощенной схеме. (рис. 88.4) l_a=√(ab(2a+b)(a+b-a) )/(a+b)=(b√(a(2a+b) ))/(a+b)

Средняя линия равнобедренного треугольника, параллельная основанию, равна его половине, а средние линии, параллельные боковым сторонам, равны между собой и также равны половинам самих боковых сторон. (рис. 88.5) M_b=b/2 M_a=a/2

Радиус окружности, вписанной в равнобедренной треугольник, является производной формулы для произвольного треугольника, и рассчитать его можно, зная боковую сторону и основание. (рис. 88.6) r=b/2 √((2a-b)/(2a+b))

Радиус окружности, описанной вокруг равнобедренного треугольника, также выводится из общей формулы и выглядит упрощенно следующим образом. (рис. 88.7) R=a^2/√(4a^2-b^2 )

формула основание равнобедренного треугольника

poiskvstavropole.ru

Расчет основания равнобедренного треугольника | Помощь школьнику

Найдите координаты точки пересечения медиан треугольника с вершинами (1; 0), (2; 3), (3; 2). — Погорелов А.В. 8 класс — условие и подробное решение задачи № 2471 бесплатно — bambookes.ru.

Стороны равнобедренного треугольника

Равнобедренный треугольник имеет две равные по значению боковые стороны a и основание b. Это позволяет рассчитать любые параметры треугольника, необходимые для решения задачи. Периметр равнобедренного треугольника равен удвоенной боковой стороне в сумме с основанием. (рис.88.1) P=2a+b

Высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, делит его на два конгруэнтных прямоугольных треугольника, с половиной основания в качестве второго катета и боковой стороной как гипотенузой. Такая высота одновременно является и медианой и биссектрисой. Найти ее можно по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника. (рис.88.2) h_b=m_b=l_b=√(a^2-(b/2)^2 )=√(4a^2-b^2 )/2

Остальные две высоты равны друг другу и считаются через формулу с произведением разностей полупериметров и сторон, где приравнены боковые стороны. (рис.88.8) h_a=(b√((4a^2-b^2)))/2a

Зная высоту, найти площадь равнобедренного треугольника можно, подставив полученное выражение в формулу, по которой площадь равна половине основания, умноженной на его высоту. S=hb/2=(b√(4a^2-b^2 ))/4

Углы в равнобедренном треугольнике распределяются следующим образом – углы при основании друг другу конгруэнтны, также как и боковые стороны, а в сумме все три угла дают 180 градусов, поэтому найти их можно двумя видами разности. α=(180°-β)/2 β=180°-2α

Если ни один из углов не дан, но есть все стороны, то можно воспользоваться теоремой косинусов, чтобы найти любой угол. cos⁡α=(b^2+c^2-a^2)/2bc=(b^2+a^2-a^2)/2ba=b^2/2ba=b/2a cos⁡β=(a^2+a^2-b^2)/(2a^2 )=(2a^2-b^2)/(2a^2 )

Медиана и биссектриса, опущенные на основание, вычисляются по формуле высоты, приведенной выше, а оставшиеся две медианы (равно как и две биссектрисы) равны друг другу, поскольку строятся на равных боковых сторонах. Вычислить медиану можно, упростив формулу произвольного треугольника. (рис. 88.3) m_a=√(2a^2+2b^2-a^2 )/2=√(a^2+2b^2 )/2

В формуле биссектрисы аналогично приравниваются боковые стороны, и ее становится возможным вычислить по упрощенной схеме. (рис. 88.4) l_a=√(ab(2a+b)(a+b-a) )/(a+b)=(b√(a(2a+b) ))/(a+b)

Средняя линия равнобедренного треугольника, параллельная основанию, равна его половине, а средние линии, параллельные боковым сторонам, равны между собой и также равны половинам самих боковых сторон. (рис. 88.5) M_b=b/2 M_a=a/2

Радиус окружности, вписанной в равнобедренной треугольник, является производной формулы для произвольного треугольника, и рассчитать его можно, зная боковую сторону и основание. (рис. 88.6) r=b/2 √((2a-b)/(2a+b))

Радиус окружности, описанной вокруг равнобедренного треугольника, также выводится из общей формулы и выглядит упрощенно следующим образом. (рис. 88.7) R=a^2/√(4a^2-b^2 )

Расчет основания равнобедренного треугольника

Как найти площадь треугольника

На данной странице калькулятор поможет рассчитать площадь треугольника онлайн. Для расчета задайте высоту, ширину и длину.

Треугольник – это многоугольник с тремя сторонами.

По формуле Герона

Формула Герона для нахождения площади треугольника:

Через основание и высоту

Формула нахождения площади треугольника с помощью половины его основания и высоту:

Через две стороны и угол

Формула нахождения площади треугольника через две стороны и угол между ними:

Через сторону и два прилежащих угла

Формула нахождения площади треугольника через сторону и два прилежащих к ней угла:

Площадь прямоугольного треугольника

Прямоугольный треугольник — треугольник у которого один из углов прямой, т. е. равен 90°.

Формула нахождения площади прямоугольного треугольника через катеты:

Площадь равнобедренного треугольника через стороны

Равнобедренный треугольник — треугольник, в котором две стороны равны. А значит, равны и два угла.

Формула нахождения площади равнобедренного треугольника через две стороны:

Площадь равнобедренного треугольника через основание и угол

Формула нахождения площади равнобедренного треугольника через основание и угол:

Площадь равностороннего треугольника через стороны

Равносторонний треугольник — треугольник, в котором все стороны равны, а каждый угол равен 60°.

Формула нахождения площади равностороннего треугольника через сторону:

Площадь равностороннего треугольника через высоту

Формула нахождения площади равностороннего треугольника через высоту:

Площадь равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности

Формула нахождения пощади равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности:

Площадь равностороннего треугольника через радиус описанной окружности

Формула нахождения пощади равностороннего треугольника через радиус описанной окружности:

Площадь треугольника через радиус описанной окружности и три стороны

Формула нахождения пощади треугольника через радиус описанной окружности и три стороны:

Площадь треугольника через радиус вписанной окружности и три стороны

Формула нахождения пощади треугольника через радиус вписанной окружности и три стороны:

Расчет основания равнобедренного треугольника

Высота равнобедренного треугольника

Треугольник, у которого две стороны равны, называется равнобедренным. Перпендикуляр, опущенный из вершины равнобедренного треугольника на его основание, называется высотой равнобедренного треугольника. Высота делит основание треугольника пополам. Весь равнобедренный треугольник делится высотой на два равных прямоугольных треугольника, у которых боковая сторона (a) является гипотенузой, а высота (h) — катетом прямоугольного треугольника. Второй катет прямоугольного треугольника равен половине основания равнобедренного треугольника (b/2).

Если известны сторона и основание равнобедренного треугольника, его высоту, как катет прямоугольного треугольника, можно вычислить посредством теоремы Пифагора по формуле:

Где a — боковая сторона;

Если известны стороны, высоту равнобедренного треугольника можно вычислить по формуле Герона, предварительно вычислив периметр равнобедренного треугольника как сумму двух боковых сторон и основания. Разделив величину периметра пополам, найдем полупериметр треугольника.

расчет основания равнобедренного треугольника

poiskvstavropole.ru

Формула равнобедренного треугольника основание | Помощь школьнику

C помощью нашего Онлайн-калькулятора для расчета объема цилиндра Вы можете быстро и точно рассчитать объем цилиндра. Для того, чтобы вычислить объем цилиндра, сначала выберите формулу, по которой Вы собираетесь произвести расчет. Объем цилиндра (в зависимости от исходных данных).

Как найти основание равнобедренного треугольника?

Равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого 2 стороны равны. Равные стороны — это рёбра, а 3 сторона — основание.

Если известно, чему равна боковая сторона, а также высота, опущенная на основание.

Как известно, высота перпендикулярна основанию, а в случае с равнобедренным треугольником она разбивает его на 2 равных прямоугольных треугольника.

Можно по теореме Пифагора найти половину основания, а затем это значение умножить на 2.

Если известно, чему равна боковая сторона и один из углов.

Нужно воспользоваться теоремой синусов:

A/sinα = b/sinβ = c/sinγ.

Так как в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то легко можно найти 2 оставшихся угла, исходя из того, что сумма 3 углов равна 180 градусов.

Для того, чтобы найти основание равнобедренного треугольника? нам необходимо знать или один из углов, или же высоту треугольника, которая проводится к его основанию. Основание можно вычислить по следующей, вполне легкой формуле:

B — длина основания треугольника;

A — длина стороны треугольника;

B — это угол, который противоположен основанию.

Что бы найти основание равнобедренного треугольника я делаю так — сумму сторон делю на три, потом умножаю на два и из суммы всех сторон вычисляю сумму боковых сторон.

Формула равнобедренного треугольника основание

Как найти основание равнобедренного треугольника?

Равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого 2 стороны равны. Равные стороны — это рёбра, а 3 сторона — основание.

Если известно, чему равна боковая сторона, а также высота, опущенная на основание.

Как известно, высота перпендикулярна основанию, а в случае с равнобедренным треугольником она разбивает его на 2 равных прямоугольных треугольника.

Можно по теореме Пифагора найти половину основания, а затем это значение умножить на 2.

Если известно, чему равна боковая сторона и один из углов.

Нужно воспользоваться теоремой синусов:

A/sinα = b/sinβ = c/sinγ.

Так как в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то легко можно найти 2 оставшихся угла, исходя из того, что сумма 3 углов равна 180 градусов.

Для того, чтобы найти основание равнобедренного треугольника? нам необходимо знать или один из углов, или же высоту треугольника, которая проводится к его основанию. Основание можно вычислить по следующей, вполне легкой формуле:

B — длина основания треугольника;

A — длина стороны треугольника;

B — это угол, который противоположен основанию.

Что бы найти основание равнобедренного треугольника я делаю так — сумму сторон делю на три, потом умножаю на два и из суммы всех сторон вычисляю сумму боковых сторон.

Формула равнобедренного треугольника основание

Как найти площадь треугольника

На данной странице калькулятор поможет рассчитать площадь треугольника онлайн. Для расчета задайте высоту, ширину и длину.

Треугольник – это многоугольник с тремя сторонами.

По формуле Герона

Формула Герона для нахождения площади треугольника:

Через основание и высоту

Формула нахождения площади треугольника с помощью половины его основания и высоту:

Через две стороны и угол

Формула нахождения площади треугольника через две стороны и угол между ними:

Через сторону и два прилежащих угла

Формула нахождения площади треугольника через сторону и два прилежащих к ней угла:

Площадь прямоугольного треугольника

Прямоугольный треугольник — треугольник у которого один из углов прямой, т. е. равен 90°.

Формула нахождения площади прямоугольного треугольника через катеты:

Площадь равнобедренного треугольника через стороны

Равнобедренный треугольник — треугольник, в котором две стороны равны. А значит, равны и два угла.

Формула нахождения площади равнобедренного треугольника через две стороны:

Площадь равнобедренного треугольника через основание и угол

Формула нахождения площади равнобедренного треугольника через основание и угол:

Площадь равностороннего треугольника через стороны

Равносторонний треугольник — треугольник, в котором все стороны равны, а каждый угол равен 60°.

Формула нахождения площади равностороннего треугольника через сторону:

Площадь равностороннего треугольника через высоту

Формула нахождения площади равностороннего треугольника через высоту:

Площадь равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности

Формула нахождения пощади равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности:

Площадь равностороннего треугольника через радиус описанной окружности

Формула нахождения пощади равностороннего треугольника через радиус описанной окружности:

Площадь треугольника через радиус описанной окружности и три стороны

Формула нахождения пощади треугольника через радиус описанной окружности и три стороны:

Площадь треугольника через радиус вписанной окружности и три стороны

Формула нахождения пощади треугольника через радиус вписанной окружности и три стороны:

формула равнобедренного треугольника основание

poiskvstavropole.ru

Как найти длину основания равнобедренного треугольника

Треугольник – это часть плоскости, ограниченная тремя отрезками прямых, имеющими попарно по одному всеобщему концу. Отрезки прямых в данном определении именуются сторонами треугольника, а их всеобщие концы – вершинами треугольника. Если две стороны треугольника равны, то его называют равнобедренным.

Инструкция

1. Основанием треугольника именуется третья его сторона AC (см. рисунок), допустимо чудесная от боковых равных сторон AB и BC. Приведем несколько методов вычисления длины основания равнобедренного треугольника. Во-первых, дозволено воспользоваться теоремой синусов. Она гласит, что стороны треугольника прямо пропорциональны значению синусов противолежащих углов: a / sin ? = c / sin ?. Откуда получаем, что c = a * sin ? / sin ?.

2. Приведем пример вычисления основания треугольника по теореме синусов. Пускай a = b = 5, ? = 30°. Тогда по теореме о сумме углов треугольника ? = 180° — 2 * 30° = 120°. с = 5 * sin 120° / sin 30° = 5 * sin 60° / sin 30° = 5 * ?3 * 2 / 2 = 5 * ?3. Тут для вычисления значения синуса угла ? = 120° мы воспользовались формулой приведения, согласно которой sin (180° — ?) = sin ?.

3. 2-й метод обнаружить основание треугольника – при помощи теоремы косинусов: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов 2-х других сторон минус удвоенное произведение этих сторон и косинуса угла, заключенного между ними. Получаем, что квадрат основания c^2 = a^2 + b^2 – 2 * a * b * cos ?. Дальше находим длину основании c, извлекая квадратный корень из данного выражения.

4. Разглядим пример. Пускай нам заданы такие же параметры, как в предыдущей задаче (см. пункт 2). a = b = 5, ? = 30°. ? = 120°. с^2 = 25 + 25 — 2 * 25 * cos 120° = 50 — 50 * (- cos 60°) = 50 + 50 * ? = 75. В данном вычислении мы также применили формулу приведения для нахождения cos 120°: cos (180° — ?) = — cos ?. Извлекаем квадратный корень и получаем значение c = 5 * ?3.

5. Разглядим частный случай равнобедренного треугольника – прямоугольный равнобедренный треугольник. Тогда по теореме Пифагора мы сразу же находим основание c = ?(a^2 + b^2).

Видео по теме

Обратите внимание! При вычислении легко ошибиться в значениях синуса либо косинуса угла, либо примитивно в арифметических действиях. Для проверки разультата пригодно вычислить длину основания двумя методами.

Полезный совет При вычислении угла, противолежащего к основанию, будет комфортно применять следующие формулы приведения: sin (180° — ?) = sin ?; cos (180° — ?) = — cos ?.

jprosto.ru

Высота и сторона "A" равнобедренного треугольника

Так как высота равнобедренного треугольника, опущенная на основание, является одновременно и биссектрисой и медианой, следовательно, она делит основание и угол при вершине на две равные части, образуя прямоугольный треугольник со сторонами a и b/2. Из теоремы Пифагора в таком треугольнике можно найти само основание, а затем рассчитать все остальные возможные данные. (рис.88.2) h^2+(b/2)^2=a^2 b=√(a^2-h^2 )/2

Чтобы вычислить периметр равнобедренного треугольника, надо к двум боковым сторонам прибавить основание или приведенный выше радикал через высоту. P=2a+b=2a+√(a^2-h^2 )/2

Площадь равнобедренного треугольника через высоту и основание по определению вычисляется как половина их произведения. Заменив основание на соответствующее ему выражение, получаем площадь через высоту и боковую сторону равнобедренного треугольника. S=hb/2=(h√(a^2-h^2 ))/4

В равнобедренном треугольнике равны не только боковые стороны, но и углы при основании, а так как в сумме они дают всегда 180 градусов, то любой из углов можно найти, зная другой. Первый угол вычисляется по теореме косинусов, приведенной для равных боковых сторон, а второй можно найти через разность от 180. (рис.88.1) cos⁡α=(b^2+c^2-a^2)/2bc=(b^2+a^2-a^2)/2ba=b^2/2ba=b/2a cos⁡β=(a^2+a^2-b^2)/(2a^2 )=(2a^2-b^2)/(2a^2 ) α=(180°-β)/2 β=180°-2α

Центральные медиана и биссектриса, опущенные на основание совпадают с высотой, а боковые медианы, высоты и биссектрисы можно найти по следующим формулам для равнобедренных треугольников. Чтобы вычислить их через высоту и боковую сторону, нужно заменить основание на эквивалентное ему выражение. (рис. 88.3) m_a=√(2a^2+2b^2-a^2 )/2=√(a^2+2b^2 )/2

Высота, опущенная на боковую сторону, через высоту, опущенную на основание и боковую сторону равнобедренного треугольника. (рис.88.8) h_a=(b√((4a^2-b^2)))/2a=(√(a^2-h^2 ) √((4a^2-a^2+h^2)))/2a=√((a^2-h^2)(3a^2+h^2))/2

Биссектрисы, направленные в боковые стороны, также могут быть выражены через боковую сторону и центральную высоту треугольника . (рис. 88.4) l_a=√(ab(2a+b)(a+b-a) )/(a+b)=√(a(a^2-h^2)(2a+√(a^2-h^2 )) )/(a+√(a^2-h^2 ))

Средняя линия проводится параллельно любой стороне треугольника, соединяя середины боковых в ее отношении сторон. Таким образом, она всегда оказывается равна половине параллельной ей стороны. Вместо неизвестного основания в формулу можно подставить используемый радикал, чтобы найти среднюю линию через высоту и боковую сторону равнобедренного треугольника(рис. 88.5) M_b=b/2=√(a^2-h^2 )/2 M_a=a/2

Радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, начинается от точки на пересечении биссектрис и уходит перпендикулярно в любую из сторон. Чтобы его найти через высоту и боковую сторону треугольника, надо заменить основание в формуле на радикал. (рис. 88.6) r=1/2 √(((a^2-h^2)(2a-√(a^2-h^2 )))/(2a+√(a^2-h^2 )))

Радиус окружности, описанной вокруг равнобедренного треугольника, также выводится из общей формулы путем подстановки радикала через высоту и боковую сторону вместо основания. (рис. 88.7) R=a^2/√(3a^2-h^2 )

geleot.ru

Все формулы для треугольника

L - биссектриса, отрезок |OB|, который делит угол ABC пополам

a, b - стороны треугольника

с - сторона на которую опущена биссектриса

d, e - отрезки полученные делением биссектрисы

γ - угол ABC, разделенный биссектрисой пополам

p - полупериметр, p=(a+b+c)/2

 

 

Длина биссектрисы через две стороны и угол, (L):

Длина биссектрисы через две стороны и угол

 

Длина биссектрисы через полупериметр и стороны, (L):

Длина биссектрисы через полупериметр и стороны

 

Длина биссектрисы через три стороны, (L):

Длина биссектрисы через три стороны

 

Длина биссектрисы через стороны и отрезки d, e, (L):

Длина биссектрисы через стороны и отрезки d, e

 

 

 

Точка пересечения всех трех биссектрис треугольника ABC, совпадает с центром О, вписанной окружности.

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Найти по формулам длину биссектрисы из прямого угла на гипотенузу:

Биссектриса прямого угла прямоугольного треугольника

 

L - биссектриса, отрезок ME ,  исходящий из прямого угла (90 град)

a, b - катеты прямоугольного треугольника

с - гипотенуза

α - угол прилежащий к гипотенузе

 

 

Формула длины биссектрисы через катеты, ( L):

Формула длины биссектрисы через катеты

 

Формула длины биссектрисы через гипотенузу и угол, ( L):

Формула длины биссектрисы через гипотенузу и угол

 

 

 

2. Найти по формулам длину биссектрисы из острого угла на катет:

 

L - биссектриса, отрезок ME ,  исходящий из острого угла

a, b - катеты прямоугольного треугольника

с - гипотенуза

α, β - углы прилежащие к гипотенузе

 

 

Формулы длины биссектрисы через катет и угол, (L):

 

Формула длины биссектрисы через катет и гипотенузу, (L):

 

Формулы для вычисления высоты, биссектрисы и медианы.

В равнобедренном треугольнике: высота, биссектриса и медиана, исходящие из угла образованного равными сторонами, один и тот же отрезок.

 

Длина биссектрисы равнобедренного треугольника

L - высота=биссектриса=медиана

a - одинаковые стороны треугольника

b - основание

α - равные углы при основании

β - угол вершины

 

 

Формулы высоты, биссектрисы и медианы, через сторону и угол, (L):

Формулы высоты, биссектрисы и медианы равнобедренного треугольника

 

Формулы высоты, биссектрисы и медианы равнобедренного треугольника

 

Формулы высоты, биссектрисы и медианы равнобедренного треугольника

 

Формула высоты, биссектрисы и медианы, через стороны, (L):

Формулы высоты, биссектрисы и медианы равнобедренного треугольника

Формула для вычисления высоты= биссектрисы= медианы.

В равностороннем треугольнике: все высоты, биссектрисы и медианы, равны. Точка их пересечения, является центром вписанной окружности.

Найти медиану=биссектрису=высоту равностороннего треугольника

 

 

L - высота=биссектриса=медиана

a -  стороны треугольника

 

 

 

Формула длины высоты, биссектрисы и медианы равностороннего треугольника, (L):

Формула длины высоты, биссектрисы и медианы равностороннего треугольника

 

 

Медиана - отрезок |AO|, который выходит из вершины A и делит противолежащею сторону  c пополам. Медиана делит треугольник ABC на два равных по площади треугольника AOC и ABO.

 

Найти длину медианы треугольника по формулам

 

M - медиана, отрезок |AO|

c - сторона на которую ложится медиана

a , b - стороны треугольника

γ - угол CAB

 

 

Формула длины медианы через три стороны, (M):

Формула длины медианы через три стороны

 

Формула длины медианы через две стороны и угол между ними, (M):

Формула длины медианы через две стороны и угол между ними

 

 

Медиана, отрезок |CO|, исходящий из вершины прямого угла BCA и делящий гипотенузу c, пополам. Медиана в прямоугольном треугольнике (M), равна, радиусу описанной окружности (R).

Длина медианы прямоугольного треугольникаM - медиана

R - радиус описанной окружности

O - центр описанной окружности

с - гипотенуза

a, b - катеты

α - острый угол CAB

 

Медиана равна радиусу и половине гипотенузы, (M):

Медиана равна радиусу и половине гипотенузы

 

Формула длины через катеты, (M):

Формула медианы через катеты

 

Формула длины через катет и острый угол, (M):

Формула медианы через катет и острый угол

 

 

Высота- перпендикуляр выходящий из любой вершины треугольника, к противоположной стороне (или ее продолжению, для треугольника с тупым углом). Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется - ортоцентр.

 

Найти длину высоты треугольникаH - высота треугольника

a - сторона, основание

b. c - стороны

β, γ - углы при основании

p - полупериметр, p=(a+b+c)/2

R - радиус описанной окружности

S - площадь треугольника

 

 

Формула длины высоты через стороны, (H):

Формула длины высоты через стороны

 

Формула длины высоты через сторону и угол, (H):

Формула длины высоты через сторону и угол

 

Формула длины высоты через сторону и площадь, (H):

Формула длины высоты через сторону и площадь

 

Формула длины высоты через стороны и радиус, (H):

Формула длины высоты через стороны и радиус

 

 

 

В прямоугольном треугольнике катеты, являются высотами. Ортоцентр - точка пересечения высот, совпадает с вершиной прямого угла.

 

Формулы высоты прямого угла в прямоугольном треугольникеH - высота из прямого угла

a, b - катеты

с - гипотенуза

c1 , c2 - отрезки полученные от деления гипотенузы, высотой

α, β - углы при гипотенузе

 

 

Формула длины высоты через стороны, (H):

Формула длины высоты через стороны

 

Формула длины высоты через гипотенузу и острые углы, (H):

Формула длины высоты через гипотенузу и острые углы

 

Формула длины высоты через катет и угол, (H):

Формула длины высоты через катет и угол

 

Формула длины высоты через составные отрезки гипотенузы , (H):

Формула длины высоты через составные отрезки гипотенузы

 

 

Вычислить длину стороны треугольника: по стороне и двум углам или по двум сторонам и углу.

Как найти неизвестную сторону треугольника

 

 

a, b, c - стороны произвольного треугольника

α, β, γ - противоположные углы

 

 

 

Формула  длины через две стороны и угол (по теореме косинусов), (a):

Формула стороны треугольника по теореме косинусов

*Внимательно, при подстановке в формулу, для тупого угла ( α>90), сosα, принимает отрицательное значение

 

Формула  длины через сторону и два угла (по теореме синусов), (a):

Формула стороны по теореме синусов

 

Вычислить длину неизвестной стороны через любые стороны и углы

Формулы сторон равнобедренного треугольника

b - сторона (основание)

a - равные стороны

α - углы при основании

β - угол образованный равными сторонами

 

 

 

Формулы длины стороны (основания), (b):

Формулы длины стороны (основания), (b):

Формулы длины стороны (основания), (b):

 

Формулы длины равных сторон , (a):

Формулы длины равных сторон

Формулы длины равных сторон

 

Есть следующие формулы для определения катета или гипотенузы

Формулы для прямоугольного треугольника

 

 

a, b - катеты

c - гипотенуза

α, β - острые углы

 

 

Формулы для катета, (a):

Формулы катета прямоугольного треугольника

 

Формулы для катета, (b):

Формулы катета прямоугольного треугольника

 

Формулы для гипотенузы, (c):

Формулы гипотенузы прямоугольного треугольника

формула гипотенузы прямоугольного треугольника

 

Формулы сторон по теореме Пифагора, (c, a, b):

Формула стороны по теореме Пифагора

Формула стороны по теореме Пифагора

Формула стороны по теореме Пифагора

 

 

zdesformula.ru