2. Свойства параллельных прямых. Аксиома параллельных прямых. Доказать что прямые параллельны


Признаки параллельности двух прямых. Свойства параллельных прямых [wiki.eduVdom.com]

Признаки параллельности двух прямых

Рис.1

Теорема 1. Если при пересечении двух прямых секущей:

  1. накрест лежащие углы равны, или

  2. соответственные углы равны, или

  3. сумма односторонних углов равна 180°, то

прямые параллельны (рис.1).

Доказательство. Ограничимся доказательством случая 1.

Пусть при пересечении прямых а и b секущей АВ накрест лежащие углы равны. Например, ∠ 4 = ∠ 6. Докажем, что а || b.

Предположим, что прямые а и b не параллельны. Тогда они пересекаются в некоторой точке М и, следовательно, один из углов 4 или 6 будет внешним углом треугольника АВМ. Пусть для определенности ∠ 4 — внешний угол треугольника АВМ, а ∠ 6 — внутренний. Из теоремы о внешнем угле треугольника следует, что ∠ 4 больше ∠ 6, а это противоречит условию, значит, прямые а и 6 не могут пересекаться, поэтому они параллельны.

Следствие 1. Две различные прямые на плоскости, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны (рис.2).

Подготовка к ГИА и ЕГЭ

Рис.2

Замечание. Способ, которым мы только что доказали случай 1 теоремы 1, называется методом доказательства от противного или приведением к нелепости. Первое название этот способ получил потому, что в начале рассуждения делается предположение, противное (противоположное) тому, что требуется доказать. Приведением к нелепости он называется вследствие того, что, рассуждая на основании сделанного предположения, мы приходим к нелепому выводу (к абсурду). Получение такого вывода заставляет нас отвергнуть сделанное вначале допущение и принять то, которое требовалось доказать.

Задача 1. Построить прямую, проходящую через данную точку М и параллельную данной прямой а, не проходящей через точку М.

Решение. Проводим через точку М прямую р перпендикулярно прямой а (рис. 3).

Подготовка к геометрии, справочник

Рис.3

Затем проводим через точку М прямую b перпендикулярно прямой р. Прямая b параллельна прямой а согласно следствию из теоремы 1.

Из рассмотренной задачи следует важный вывод: через точку, не лежащую на данной прямой, всегда можно провести прямую, параллельную данной.

Основное свойство параллельных прямых состоит в следующем.

Аксиома параллельных прямых. Через данную точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Рассмотрим некоторые свойства параллельных прямых, которые следуют из этой аксиомы.

1) Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую (рис.4).

Подготовка к геометрии

Рис.4

2) Если две различные прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны (рис.5).

Справочник по геометрии

Рис.5

Справедлива и следующая теорема.

Теорема 2. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то:

  1. накрест лежащие углы равны;

  2. соответственные углы равны;

  3. сумма односторонних углов равна 180°.

Следствие 2. Если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой (см. рис.2).

Подготовка к ГИА и ЕГЭ

Рис.2

Замечание. Теорема 2 называется обратной теореме 1. Заключение теоремы 1 является условием теоремы 2. А условие теоремы 1 является заключением теоремы 2. Не всякая теорема имеет обратную, т. е. если данная теорема верна, то обратная теорема может быть неверна.

Поясним это на примере теоремы о вертикальных углах. Эту теорему можно сформулировать так: если два угла вертикальные, то они равны. Обратная ей теорема была бы такой: если два угла равны, то они вертикальные. А это, конечно, неверно. Два равных угла вовсе не обязаны быть вертикальными.

Пример 1. Две параллельные прямые пересечены третьей. Известно, что разность двух внутренних односторонних углов равна 30°. Найти эти углы.

Решение. Пусть условию отвечает рисунок 6.

Подготовка к геометрии ГИА

Рис.6

Углы 1 и 2 внутренние односторонние, их сумма равна 180°, т. е. ∠ l + ∠ 2 = 180°. (1)

Обозначим градусную меру угла 1 через х. По условию ∠ 2 - х = 30°, или ∠ 2 = 30° + x.

Подставим в равенство (1) значения углов 1 и 2, получим х + 30° + х = 180°.

Решая это уравнение, получим х = 75°, т. е. ∠ 1 = 75°, a ∠ 2 = 180° - 75° = 105°.

Пример 2. Две параллельные прямые пересечены третьей. Известно, что сумма двух внутренних накрест лежащих углов равна 150°. Чему равны эти углы и остальные шесть?

Решение. Пусть условию задачи соответствует рисунок 7.

Геометрия для изучения ГИА и ЕГЭ

Рис.7

Углы 1 и 2 внутренние накрест лежащие, следовательно, они равны. Сумма этих углов по условию задачи равна 150°, тогда ∠ 1 = ∠ 2 = 75°.

Найдем остальные углы (рис. 8):

Рис.8

∠ 1 = ∠ 3 = 75° и ∠ 2 = ∠ 7 = 75° (вертикальные). Углы 4 и 5, 6 и 8 равны как вертикальные, a ∠ 5 = ∠ 6 как внутренние накрест лежащие. Все перечисленные углы 4, 5, 6 и 8 равны между собой и равны по 105°, так как ∠ 4 + ∠ 3 = 180°, a ∠ 4 = 180° - ∠ 3.

Получили четыре угла по 75°, четыре угла по 105°.

wiki.eduvdom.com

1. Определение и доказательства признаков параллельности прямых в плоскости

Sliedes-6.jpg

 

Две прямые лежащие на одной плоскости либо имеют только одну общую точку, либо не имеют ни одной общей точки.

В первом случае говорят, что прямые пересекаются, во втором случае — прямые не пересекаются.

 

Две прямые \(a\) и \(b\) на плоскости, которые не пересекаются, называются параллельными и обозначаютсяa∥b.

Обрати внимание!

Если рассмотреть прямые, которые не лежат в одной плоскости, то возможна ситуация, что прямые не пересекаются, но они и не параллельны.

Cube.png

 

Один из признаков параллельности прямых в плоскости гласит:

1. Признак. Если две прямые на плоскости перпендикулярные одной и той же прямой, то они параллельны.

Lenku_veidi_perp.png

Этот признак легко доказать, если вспомнить, что к прямой в плоскости с любой точки можно провести только один перпендикуляр.

 

Допустим, что прямые, перпендикулярные одной и той же прямой, не параллельны, то есть имеют общую точку.

 

Lenku_veidi_perp1.png

Получается противоречие - с одной точки \(H\) к прямой \(c\) проведены два перпендикуляра. Такое невозможно, поэтому две прямые на плоскости перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны.

 

Для рассмотрения других признаков надо ознакомиться с некоторыми видами углов:

1) Вспомним, что нам известны названия и свойства углов, которые образуют две пересекающиеся прямые

Lenku_veidi_teor2.png

 

Вертикальные углы равны:∡1=∡3;∡2=∡4

Сумма смежных углов1800:∡1+∡2=∡2+∡3=∡3+∡4=∡4+∡1=1800

 

2) Если две прямые пересекает третья прямая, то углы называются так:Lenku_veidi_teor1.png

Накрест лежащие углы ∡3 и ∡5;∡2 и ∡8

Соответственные углы ∡1 и ∡5;∡4 и ∡8;∡2 и ∡6;∡3 и ∡7

Односторонние углы∡3и∡8;∡2и∡5

Эти углы помогут определить параллельность прямых \(a\) и \(b\). Итак, другой признак параллельности прямых в плоскости гласит:

 

2. Признак. Если при пересечении двух прямых третьей секущей:

накрест лежащие углы равны, или

соответственные углы равны, или

сумма односторонних углов равна \(180°\), то прямые параллельны.

Lenku_veidi_paral1.png

 

Докажем этот признак.

 

С начала докажем, если прямые \(a\) и \(b\) пересекает прямая \(c\) и накрест лежащие углы равны, то прямые \(a\) и \(b\) параллельны.

 

Например, если ∡3=∡5, тоa∥b.

Lenku_veidi_paral11.png Lenku_veidi_paral11_atb.png

 

1) Отметим точки \(C\) и \(D\), в которых прямые \(a\) и \(b\) пересекает прямая \(c\). Через серединную точку \(K\) этого отрезка проведем перпендикуляр \(AB\) к прямой \(a\) .

2) ∡CKA\(=\)∡DKB как вертикальные углы, ∡3\(=\)∡5\(=\)α, \(CK = KD\) - значит ΔCKA\(=\)ΔDKB по признаку о стороне и двум прилежащим к ней углам.

3) Очевидно, если ΔCKA прямоугольный, то и ΔDKB прямоугольный, и \(AB\) перпендикулярен и к прямой \(b\).

4) Согласно первому доказанному признаку прямые, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны. 

5) В случае, когда равны соответственные углы, имеем в виду, что вертикальные углы равны и доказываем как в пунктах 1) - 4).

Lenku_veidi_paral13.png Lenku_veidi_paral13_atb.png

 

6) В случае, сумма односторонних углов равна 180°, имеем в виду, что сумма смежных углов тоже равна \(180°\) и используем в доказательстве пункты 1) - 4). Lenku_veidi_paral12.png Lenku_veidi_paral12_atb.png

 

3. Признак параллельных прямых действует и как свойство параллельных прямых.

При пересечении двух параллельных прямых третьей секущей:

- накрест лежащие углы равны,

- соответственные углы равны,

- сумма односторонних углов равна \(180°\).

О других свойствах параллельных прямых в следующем пункте теории.

www.yaklass.ru

Параллельность прямых, прямой и плоскости — урок. Геометрия, 10 класс.

Параллельность прямых \(a\) и \(b\) обозначается так: a∥b илиb∥a.

 

Teорема 1.  Через две параллельные прямые можно провести плоскость, и при том только одну.

Taisnes_paral1.png

Доказательство:

1. Так как прямые \(a\) и \(b\) параллельны, из определения следует, что через них можно провести плоскость α.

2. Чтобы доказать, что такая плоскость только одна, на прямой \(a\) обозначаем точки \(B\) и \(C\), а на прямой \(b\) точку \(A\).

3. Так как через три точки, которые не лежат на одной прямой, можно провести только одну плоскость (2 аксиома), то α является единственной плоскостью, которой принадлежат прямые \(a\) и \(b\).

 

Теорема 2.  Через любую точку пространства вне данной прямой можно провести прямую, параллельную данной прямой, и при том только одну.

Taisnes_paral2.png

Доказательство:

1. Через данную прямую \(a\) и точку \(M\), которая не лежит на прямой, проводится плоскость α.

2. Такая плоскость только одна (т.к. через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом только одну).

3. А в плоскости α через точку \(M\) можно провести только одну прямую \(b\), которая параллельна прямой \(a\).

 

Теорема 3.  Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

Taisnes_paral3.png

(1. рис.)

Taisnes_paral4.png

(2. рис.)

  

Доказательство:

Рассмотрим две параллельные прямые \(a\) и \(b\) и допустим, что прямая \(b\) пересекает плоскость α в точке \(M\) (1. рис.).

 

Из 1-ой теоремы известно, что через параллельные прямые \(a\) и \(b\) можно провести только одну плоскость β.

 

Так как точка \(M\) находится на прямой \(b\), то \(M\) также принадлежит плоскости β(2. рис.). Если у плоскостей α и β есть общая точка \(M\), то у этих плоскостей есть общая прямая \(c\), которая является прямой пересечения этих плоскостей (4 аксиома).

 

Прямые \(a\), \(b\) и \(c\) находятся в плоскости β.

Если в этой плоскости одна из параллельных прямых \(b\) пересекает прямую \(c\), то вторая прямая \(a\) тоже пересекает \(c\).

 

Точку пересечения прямых \(a\) и \(c\) обозначим за \(K\).

Так как точка \(K\) находится на прямой \(c\), то \(K\) находится в плоскости α и является единственной общей точкой прямой \(a\) и плоскости α.

Значит, прямая \(a\) пересекает плоскость α в точке \(K\).

 

Теорема 4.  Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны.

Taisnes_paral5.png

Дано: a∥cиb∥c

Доказать: a∥b

Доказательство:

Выберем точку \(M\) на прямой \(b\).

Через точку \(M\) и прямую \(a\), которая не содержит эту точку, можно провести только одну плоскость α (Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести только одну плоскость).

 

Возможны два случая:

1) прямая \(b\) пересекает плоскость α или 2) прямая \(b\) находится в плоскости α.

 

Пусть прямая \(b\) пересекает плоскость α.

Значит, прямая \(c\), которая параллельна прямой \(b\), тоже пересекает плоскость α. Так как a∥c, то получается, что \(a\) тоже пересекает эту плоскость. Но прямая \(a\) не может одновременно пересекать плоскость α и находиться в плоскости α. Получаем противоречие, следовательно,  предположение, что прямая \(b\) пересекает плоскость α, является неверным.

Значит, прямая \(b\) находится в плоскости α.

 

Теперь нужно доказать, что прямые \(a\) и \(b\) параллельны.

Пусть у прямых \(a\) и \(b\) есть общая точка \(L\).

Это означает, что через точку \(L\) проведены две прямые \(a\) и \(b\), которые параллельны прямой \(c\). Но по второй теореме это невозможно. Поэтому предположение неверное, и прямые \(a\) и \(b\) не имеют общих точек.

Так как прямые \(a\) и \(b\) находятся в одной плоскости α и у них нет общих точек, то они параллельны.

 

Всё множество прямых в пространстве, которые параллельны данной прямой, называется пучком параллельных прямых.

Выводы:

1) Любые две прямые пучка параллельных прямых параллельны между собой.

2) Параллельности прямых в пространстве присуща транзитивность: еслиa∥bиb∥c,тоa∥c.

 

 

Пример:

Одна сторона параллелограмма пересекает плоскость. Докажите, что прямая, которая содержит противоположную сторону параллелограмма, тоже пересекает эту плоскость.

Plakne_paralelograms.png

 

Допустим, что у параллелограмма \(ABCD\) сторона \(AD\) пересекает плоскость α в точке \(K\).

Так как противоположные стороны параллелограмма параллельны, то, согласно третьей теореме, прямая, которая содержит сторону \(CD\), тоже пересекает плоскость α.

2) прямая и плоскость имеют только одну общую точку (прямая и плоскость пересекаются)

Мы пришли к противоречию. Так как согласно данной информации a∥b, они не могут быть скрещивающимися. Значит прямая \(a\) должна быть параллельна плоскости α.

www.yaklass.ru

Как доказать параллельность прямых

Параллельными считаются прямые, которые не пересекаются и лежат на одной плоскости. Если прямые не лежат в одной плоскости и не пересекаются, их называют скрещивающимися. Доказать параллельность прямых можно, исходя из их свойств. Это можно сделать, делая прямые измерения.

Вам понадобится

  • - линейка;
  • - транспортир;
  • - угольник;
  • - калькулятор.

Инструкция

  • Перед началом доказательства убедитесь, что прямые лежат в одной плоскости и их можно изобразить на ней. Наиболее простым способом доказательства является метод измерения линейкой. Для этого при помощи линейки измерьте расстояние между прямыми в нескольких местах как можно дальше друг от друга. Если расстояние остается неизменным, данные прямые параллельны. Но такой метод недостаточно точен, поэтому лучше используйте другие способы.
  • Проведите третью прямую, так, чтобы она пересекала обе параллельные прямые. Она образует с ними четыре внешних и четыре внутренних угла. Рассмотрите внутренние углы. Те, которые лежат через секущую прямую называются накрестлежащими. Те, что лежат по одной стороне называются односторонними. При помощи транспортира измерьте два внутренних накрестлежащих угла. Если они равны между собой, то прямые будут параллельными. Если остались сомнения, измерьте односторонние внутренние углы и сложите получившиеся значения. Прямые будут параллельными, если сумма односторонних внутренних углов будет равна 180º.
  • Если нет транспортира, возьмите угольник с углом 90º. С его помощью постройте перпендикуляр к одной из прямых. После этого продолжите этот перпендикуляр таким образом, чтобы он пересек другую прямую. С помощью того же угольника проверьте, под каким углом этот перпендикуляр пересекает ее. Если этот угол тоже равен 90º, то прямые параллельны между собой.
  • В том случае, если прямые заданы в декартовой системе координат, найдите их направляющие или нормальные векторы. Если эти векторы, соответственно, между собой коллинеарны, то прямые параллельны. Приведите уравнение прямых к общему виду и найдите координаты нормального вектора каждой из прямых. Его координаты равны коэффициентам А и В. В том случае, если отношение соответствующих координат нормальных векторов одинаково, они коллинеарны, а прямые параллельны.
  • Например, прямые заданы уравнениями 4х-2у+1=0 и х/1=(у-4)/2. Первое уравнение – общего вида, второе – канонического. Приведите второе уравнение к общему виду. Используйте для этого правило преобразования пропорций, в результате получите 2х=у-4. После приведения к общему виду получите 2х-у+4=0. Поскольку уравнение общего вида для любой прямой записывается Ах+Ву+С=0, то для первой прямой: А=4, В=2, а для второй прямой А=2, В=1. Для первой прямой координаты нормального вектора (4;2), а для второй – (2;1). Найдите отношение соответствующих координат нормальных векторов 4/2=2 и 2/1=2. Эти числа равны, а значит вектора коллинеарны. Поскольку вектора коллинеарны, прямые параллельны.

completerepair.ru

Помощь нужна!!! Докажите что если две прямые параллельны третьей прямой,то они параллельны. и рисунок

Две прямые, параллельные третьей, параллельны. Это свойство называется транзитивностью параллельности прямых. Доказательство Пусть прямые a и b одновременно параллельны прямой c. Допустим, что a не параллельна b, тогда прямая a пересекается с прямой b в некоторой точке A, не лежащей на прямой c по условию. Следовательно, мы имеем две прямые a и b, проходящие через точку A, не лежащую на данной прямой c, и одновременно параллельные ей. Это противоречит аксиоме 3.1. Теорема доказана. аксиома 3.1Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной, и притом только одну. А рисунок сам или сама, тебя не поймёшь.

а это не аксиома?

вот студент наглый пошёл.. . и докажите, и рисунок нарисуйте

<img src="//otvet