В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Чему равен квадрат гипотенузы в прямоугольном треугольнике


В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов

 

ГЕОМЕТРИЯ. ТЕОРЕМЫ.

ТЕОРЕМА ПИФАГОРА.

 

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

 

Дано: 

Треугольник АВС - прямоугольный;

АВ = b – катет;

ВС = а – катет;

АС = с – гипотенуза.

 

 

Доказать:

 

 

Доказательство:

 

1. Достроим треугольник АВС до квадрата. Сторона ВК = a + b.

 

 

2. Площадь квадрата BKMN равна:

 

 

3. Квадрат BKMN состоит из:

 

 

 

б) Квадрата AEFC, который имеет сторону равную с. Значит, площадь квадрата AEFC равна:

 

 

4. Площадь квадрата найдем как:

 

 

 

5. Из пунктов 2 и 4 следует:

 

 

 

 

 

Теорема доказана.

Все теоремы с доказательствами >>>

 

www.1variant.ru

Как найти гипотенузу прямоугольного треугольника

Среди многочисленных расчетов, производимых для вычисления тех или иных величин различных геометрических фигур, есть нахождение гипотенузы треугольника. Напомним, что треугольником называется многогранник, имеющий три угла. Ниже будут приведены несколько способов расчета гипотенузы различных треугольников.

Первоначально посмотрим, как найти гипотенузу прямоугольного треугольника. Для тех, кто подзабыл, прямоугольным называется треугольник, имеющий угол 90 градусов. Сторона треугольника, расположенная на противоположной стороне прямого угла, называется гипотенузой. К тому же, она является наиболее длинной стороной треугольника. В зависимости от известных величин длина гипотенузы рассчитывается следующим образом:

  • Известны длины катетов. Гипотенуза в этом случае исчисляется, используя теорему Пифагора, которая звучит следующим образом: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Если рассмотреть прямоугольный треугольник BKF, где BK и KF катеты, а FB – гипотенуза, то FB2= BK2+ KF2. Из вышесказанного следует, что при расчете длины гипотенузы нужно возвести поочередно в квадрат каждую из величин катетов. Затем сложить поученные цифры и из результата извлечь квадратный корень.

Рассмотрим пример: Дан треугольник с прямым углом. Один катет равен 3 см, другой 4см. Найти гипотенузу. Решение выглядит следующим образом.

FB2= BK2+ KF2= (3см)2+(4см)2= 9см2+16см2=25 см2. Извлекаем квадратный корень и получаем FB=5см.

  • Известен катет (BK) и угол, прилежащий к нему, который образуется гипотенузой и этим катетом. Как найти гипотенузу треугольника? Обозначим известный угол α. Согласно свойству прямоугольного треугольника, которое гласит, что отношение длины катета к длине гипотенузы равняется косинусу угла между этим катетом и гипотенузой. Рассматривая треугольник это можно записать так: FB= BK*cos(α).
  • Известен катет (KF) и тот же угол α, только теперь он уже будет противолежащим. Как найти гипотенузу в этом случае? Обратимся все к тем же свойствам прямоугольного треугольника и узнаем, что отношение длины катета к длине гипотенузы равняется синусу противолежащего катету угла. То есть FB= KF * sin (α).

Рассмотрим на примере. Дан все тот же прямоугольный треугольник BKF с гипотенузой FB. Пусть угол F равен 30 градусам, второй угол B соответствует 60 градусам. Еще известен катет BK, длина которого соответствует 8 см. Вычислить искомую величину можно так:

FB = BK /cos60 = 8 см.FB = BK /sin30 = 8 см.

  • Известен радиус окружности (R), описанной около треугольника с прямым углом. Как найти гипотенузу при рассмотрении такой задачи? Из свойства окружности, описанной вокруг треугольника с прямым углом известно, что центр такой окружности совпадает с точкой гипотенузы, разделяющей ее пополам. Простыми словами – радиус соответствует половине гипотенузы. Отсюда гипотенуза равна двум радиусам. FB=2*R. Если же дана аналогичная задача, в которой известен не радиус, а медиана, то следует обратить внимание на свойство окружности, описанной вокруг треугольника с прямым углом, которое говорит, что радиус равен медиане, проведенной к гипотенузе. Используя все эти свойства, задача решается таким же способом.

Если стоит вопрос, как найти гипотенузу равнобедренного прямоугольного треугольника, то необходимо обратится все к той же теореме Пифагора. Но, в первую очередь вспомним, что равнобедренным треугольником, является треугольник, имеющий две одинаковые стороны. В случае с прямоугольным треугольником одинаковыми сторонами являются катеты. Имеем FB2= BK2+ KF2, но, так как BK= KF имеем следующее: FB2=2 BK2, FB= BK√2

Как видите, зная теорему Пифагора и свойства прямоугольного треугольника, решить задачи, при которых необходимо вычислить длину гипотенузы, очень просто. Если же все свойства запомнить сложно, выучите готовые формулы, подставив в которые известные значения можно будет рассчитать искомую длину гипотенузы.

fb.ru

квадрату гипотенузы равна сумма катетов, возведенных в квадрат

Каждый школьник знает, что всегда квадрат гипотенузы равен сумме катетов, каждый из которых возведен в квадрат. Эта утверждение носит название теоремы Пифагора. Она является одной из самых известных теорем тригонометрии и математики в целом. Рассмотрим ее подробнее.

Понятие о прямоугольном треугольнике

Перед тем, как переходить к рассмотрению теоремы Пифагора, в которой квадрат гипотенузы равен сумме катетов, которые возведены в квадрат, следует рассмотреть понятие и свойства прямоугольного треугольника, для которого справедлива теорема.

Треугольник - плоская фигура, имеющая три угла и три стороны. Прямоугольный же треугольник, как следует из его названия, имеет один прямой угол, то есть этот угол равен 90o.

Из общих свойств для всех треугольников известно, что сумма всех трех углов этой фигуры равна 180o, а это означает, что для прямоугольного треугольника сумма двух углов, которые не являются прямыми, составляет 180o - 90o = 90o. Последний факт означает, что любой угол в прямоугольном треугольнике, который не является прямым, будет всегда меньше 90o.

Сторону, которая лежит против прямого угла, принято называть гипотенузой. Две же другие стороны являются катетами треугольника, они могут быть равны между собой, а могут и отличаться. Из тригонометрии известно, что чем больше угол, против которого лежит сторона в треугольнике, тем больше длина этой стороны. Это означает, что в прямоугольном треугольнике гипотенуза (лежит против угла 90o) будет всегда больше любого из катетов (лежат против углов < 90o).

Математическая запись теоремы Пифагора

Доказательство теоремы Пифагора

Эта теорема гласит, что квадрату гипотенузы равна сумма катетов, каждый из которых предварительно возведен в квадрат. Чтобы математически записать эту формулировку, рассмотрим прямоугольный треугольник, в котором стороны a, b и c являются двумя катетами и гипотенузой, соответственно. В этом случае теорема, которая формулируется, как квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, формулой следующей может быть представлена: c2 = a2 + b2. Отсюда могут быть получены другие важные для практики формулы: a = √(c2 - b2), b = √(c2 - a2) и c = √(a2 + b2).

Отметим, что в случае прямоугольного равностороннего треугольника, то есть a = b, формулировка: квадрат гипотенузы равен сумме катетов, каждый из которых возведен в квадрат, математически запишется так: c2 = a2 + b2 = 2a2, откуда вытекает равенство: c = a√2.

Историческая справка

Изображение Пифагора

Теорема Пифагора, гласящая, что квадрату гипотенузы равна сумма катетов, каждый из которых возведен в квадрат, была известна задолго до того, когда на нее обратил внимание знаменитый греческий философ. Многие папирусы Древнего Египта, а также глиняные таблички Вавилонян подтверждают, что эти народы использовали отмеченное свойство сторон прямоугольного треугольника. Например, одна из первых египетских пирамид, пирамида Хефрена, строительство которой относится к XXVI веку до нашей эры (за 2000 лет до жизни Пифагора), была построена, исходя из знания соотношения сторон в прямоугольном треугольнике 3x4x5.

Почему же тогда в настоящее время теорема носит имя грека? Ответ прост: Пифагор является первым, кто математически доказал эту теорему. В сохранившихся вавилонских и египетских письменных источниках говорится лишь об ее использовании, но не приводится никакого математического доказательства.

Считается, что Пифагор доказал рассматриваемую теорему путем использования свойств подобных треугольников, которые он получил, проведя высоту в прямоугольном треугольнике из угла 90o к гипотенузе.

Пример использования теоремы Пифагора

Расчет длины лестницы

Рассмотрим простую задачу: необходимо определить длину наклонной лестницы L, если известно, что она имеет высоту H = 3 метра, и расстояние от стены, в которую упирается лестница, до ее подножия равно P = 2,5 метра.

В данном случае H и P - это катеты, а L - гипотенуза. Поскольку длина гипотенузы равна сумме квадратов катетов, получаем: L2 = h3 + P2, откуда L = √(h3 + P2) = √(32 + 2,52) = 3,905 метра или 3 м и 90,5 см.

fb.ru

Катет "A" и гипотенуза прямоугольного треугольника

Зная катет и гипотенузу прямоугольного треугольника, можно вычислить по теореме Пифагора второй катет и далее рассчитать по формулам все возможные показатели. Второй катет будет равен квадратному корню из разницы между квадратами гипотенузы и известного катета. b=√(c^2-a^2 )

Тогда периметр будет суммой двух известных сторон и полученного радикала, а площадь – произведением половины радикала на известную сторону. P=a+c+√(c^2-a^2 ) S=(a√(c^2-a^2 ))/2

Углы при гипотенузе, выраженные только через известные стороны будут представлять собой отношения синуса и косинуса. (рис. 79.1) sin⁡α=a/c cos⁡β=a/c

Также второй угол можно найти, используя равенство суммы углов при гипотенузе и 90 градусов. α+β=90°

Единственная высота прямоугольного треугольника равна произведению известного катета на прилежащий ему угол из второго прямоугольного треугольника образованного высотой. (рис. 79.2) h=a sin⁡β

Медиана прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, равна ее половине, а для того чтобы вычислить другие медианы в прямоугольном треугольнике, можно воспользоваться общими формулами, приведенными по теореме Пифагора. m_с=c/2 m_b=√(2a^2+2c^2-b^2 )/2=√(2a^2+2a^2+2b^2-b^2 )/2=√(4a^2+b^2 )/2=√(4a^2+c^2-a^2 )/2=√(3a^2+c^2 )/2 m_a=√(2c^2+2b^2-a^2 )/2=√(2a^2+2b^2+2b^2-a^2 )/2=√(4b^2+a^2 )/2=√(4(c^2-a^2)+a^2 )/2=√(4c^2-3a^2 )/2

Биссектриса прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, состоит из произведения катетов на корень из двух, деленного на сумму катетов. Биссектрисы, опущенные на катеты, можно найти, умножив второй катет на корень из произведения удвоенной гипотенузы и суммы второго катета с единицей, деленный на сумму второго катета и гипотенузы. l_с=(a√(2(c^2-a^2)))/(a+√(c^2-a^2 )) l_a=√(bc(a+b+c)(b+c-a) )/(b+c)=√(bc((b+c)^2-a^2 ) )/(b+c)=√(bc(b^2+2bc+c^2-a^2 ) )/(b+c)=√(bc(b^2+2bc+b^2 ) )/(b+c)=√(bc(2b^2+2bc) )/(b+c)=(b√(2c(b+c) ))/(b+c)=(√(c^2-a^2 ) √(2c(√(c^2-a^2 )+c) ))/(√(c^2-a^2 )+c) l_b=√(ac(a+b+c)(a+c-b) )/(a+c)=(a√(2c(a+c) ))/(a+c)

Средняя линия прямоугольного треугольника равна половине катета или гипотенузы, которой она параллельна. (рис.79.7) M_a=a/2 M_b=b/2=√(c^2-a^2 )/2 M_c=c/2

Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник равен полусумме катетов за вычетом гипотенузы, а радиус описанной окружности – половине гипотенузы. (рис. 79.5, 79.6) r=(a+b-c)/2=(a+√(c^2-a^2 )-c)/2 R=c/2

geleot.ru

Чему равна сумма квадратов катетов, в прямоугольном треугольнике?

квадрату гипотенузы - теорема Пифагора

Пифагор перевернулся.

Теорема Пифагора- квадрату гипотенузы a^2+b^2=c^2 БЕДНЫЙ ПИФАГОР! Мир его праху.

дааа.. . и такие есть)))

Да здравствует система образования! Ура, господа!

Может этот вопрос задал ученик 6-8 класса, а вы сразу наехали на него, даже не написав ответ. Нельзя судить человека, ничего не зная о нем. a^2+b^2=c^2

touch.otvet.mail.ru

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 5

Ответ: 0,8

 

27667. Найдите угловой коэффициент прямой, проходящей через точки с координатами (-2;0) и (0;2).

Для нахождения углового коэффициента прямой необходимо знать формулу для нахождения уравнения прямой (в нашем случае это уравнение прямой проходящей через две данные точки) и уметь привести её к виду:

Либо знать определение тангенса в прямоугольном треугольнике и уметь находить его, так как

Покажем этот угол:

Найдём искомый коэффициент и тем и другим способом.

Формула уравнения прямой походящей через две данные точки имеет вид:

Наши точки имеют координаты (-2;0) и (0;2), значит

Приведём к виду

Получили, что угловой коэффициент равен единице,

Теперь второй способ. Найдём тангенс угла между прямой осью ох:

Тангенсом угла в прямоугольном треугольнике является отношение противолежащего катета к прилежащему.

Обратите внимание, что ОВ и ОА это длины катетов треугольника (то есть положительные величины).

Ответ: 1

 

27668. Найдите угловой коэффициент прямой, проходящей через точки с координатами (2;0) и (0;2).

Формула уравнения прямой походящей через две данные точки имеет вид:

Наши точки имеют координаты (2;0) и (0;2), значит

Приведём к виду

Получили, что угловой коэффициент равен единице,

Ответ: -1

 

27669. Прямая a проходит через точки с координатами (0;4) и (6;0). Прямая b проходит через точку с координатами (0;8) и параллельна прямой a. Найдите абсциссу точки пересечения прямой b с осью Ox

Конечно, в данной задаче можно найти уравнение прямой a, определить угловой коэффициент для этой прямой. У прямой b угловой коэффициент будет такой же, так как они параллельны. Далее составить уравнение прямой b. А затем, подставив значение y=0, найти абсциссу. НО!

Есть более простые варианты.

Первый.

Прямоугольные треугольники, образованные прямыми подобны, а это значит, что отношения их соответствующих сторон равны.

Искомая абсцисса равна 12.

Второй. Построить данные прямые на листке в клетку. Вы обнаружите, что прямая b пересекает ось ох в точке (12;0).

Ответ: 12

 

27670. Прямая a проходит через точки с координатами (0;4) и (-6;0). Прямая b проходит через точку с координатами (0;-6) и параллельна прямой a. Найдите абсциссу точки пересечения прямой b с осью Ox.

Образованные прямоугольные треугольники подобны (по трём углам). Значит, их линейные размеры пропорциональны. Введём обозначения.

Следовательно

Искомая абсцисса равна 9.

Ответ: 9

 

27671. Найдите ординату точки пересечения оси оy и прямой, проходящей через точку B(6;4) и параллельной прямой, проходящей через начало координат и точку A(6;8).

Задача решается просто: параллельным переносом сдвигаем прямую вниз вдоль оси оу до точки (6;4). Сдвиг произошёл на 4 единицы, то есть точка А(6;8) перешла в точку В(6;4), а точка О(0;0) перешла в точку (0;-4). Значит, полученная прямая будет пересекать ось оу в точке (0;-4). Искомая ордината равна -4.

Другой вариант решения.

Найдём формулу уравнения прямой проходящей через точки с координатами (0;0) и (6;8).

Формула уравнения прямой походящей через две данные точки имеет вид:

Наши точки имеют координаты (0;0) и (6;8), значит

Приведём к виду

Значит уравнение прямой, проходящей через точку В(6;4) имеет вид:

так как угловые коэффициенты параллельных прямых равны. Значение b найдём подставив в это уравнение координаты точки В(6;4).

Получили уравнение прямой:

Теперь, чтобы найти ординату точки пересечения с осью оу подставляем в найденное уравнение х=0

Ответ: -4

 

27672. Точки O(0;0), B(6;2), C(0;6) и A являются вершинами параллелограмма. Найдите ординату точки A.

Самый простой путь к решению это построить данный параллелограмм на листке в клетку:

Координаты точки А(6;8). Ордината равна 8.

Ответ: 8

 

27675. Точки O(0;0), A(6;8), B(6;2), C(0;6) являются вершинами четырехугольника. Найдите ординату точки P пересечения его диагоналей.

Действуем тем же простым способом. Строим четырёхугольник на листке в клетку, строим диагонали:

Получили, что точка Р имеет координаты (3;4). Ордината равна 4.

Ответ: 4

 

27678. Точки O(0;0), A(10;8), C(2;6) и B являются вершинами параллелограмма. Найдите ординату точки B.

Строим параллелограмм на листке в клетку по координатам. При построении важно соблюдать свойства фигуры (в данном случае параллельность сторон параллелограмма):

Получили, что точка В имеет координаты (8;2). Ордината этой точки равна 2.

 

27685. Точки О(0;0), А(6;8), В(8;2) являются вершинами треугольника. Найдите длину его средней линии CD, параллельной OA.

Длина любого отрезка на координатной плоскости определяется по формуле:

Значит, нам необходимо найти координаты точек C и D. Сделать это можно двумя путями.

Первый. Так как CD средняя линия, то это означает, что C и D середины соответствующих сторон треугольника. Формулы для нахождения координат середины отрезка мы уже применяли в предыдущих задачах.

Второй. Через построение на листке в клетку. Строим по координатам треугольник:

Получили, что С имеет координаты (7;5), а D(4;1). Длина CD равна:

27686. Точки O(0;0), A(10;0), B(8;6), C(2;6) являются вершинами трапеции. Найдите длину ее средней линии DE.

Длина средней линии трапеции равна полусумме оснований:

ОА=10, СВ=8-2=6. ED = (10+6):2=8.

Ответ: 8

 

27687. Найдите абсциссу точки пересечения прямой, заданной уравнением , с осью Ox.

Координата точки пересечения заданной прямой с осью ох имеет вид (х;0). Подставим в уравнение у=0, и найдём х:

Абсцисса точки пересечения с осью ох равна 2.

Ответ: 2

27689. Найдите абсциссу точки пересечения прямых, заданных уравнениями и .

Когда заданны две прямые, и стоит вопрос о нахождении координат точки пересечения этих прямых, решается система из данных уравнений:

Подставляем :

Абсцисса равна 1,2

Ответ: 1,2

 

27692. Окружность с центром в начале координат проходит через точку P(8;6). Найдите ее радиус.

Изобразим окружность и построим отрезок ОР, который будет являться радиусом:

Задача сводится к нахождению гипотенузы ОР в прямоугольном треугольнике ОРА. По теореме Пифагора:

Читайте также:

lektsia.com

Прямоугольный треугольник. Определения и свойства

Прямоугольный треугольник – треугольник, в котором один угол прямой (то есть равен 90˚).

Сторона, противоположная прямому углу, называется гипотенузой прямоугольного треугольника.

Стороны, прилежащие к прямому углу, называются катетами.

Признаки равенства прямоугольных треугольников

 

– Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны (по двум катетам).

– Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны (по катету и острому углу).

– Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны (по гипотенузе и острому углу).

– Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны (по гипотенузе и катету).

 

Свойства прямоугольного треугольника

 

 

 1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90˚.

 

2. Катет, противолежащий углу в 30˚, равен половине гипотенузы.

И обратно, если в треугольнике катет вдвое меньше гипотенузы, то напротив него лежит угол в 30˚.

 

3. Теорема Пифагора: c^2=a^2+b^2, где a,\;b – катеты, c – гипотенуза.

 

 

4. Площадь S прямоугольного треугольника с катетами a,\;b: S=\frac{1}{2}ab

 

5. Высота h прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе выражается через катеты a,\;b  и гипотенузу c следующим образом: h=\frac{ab}{c}

 

6. Центр описанной окружности – есть середина гипотенузы.

 

7. Радиус R описанной окружности есть половина гипотенузы c: R=\frac{c}{2}

 

8. Медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине

 

 

9. Радиус r вписанной окружности выражается через катеты a,\;b и гипотенузу c следующим образом: r=\frac{a+b-c}{2}

 

 

Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике смотрите здесь.

И, думаю, будет полезна  таблица формул для треугольника.

 

 

egemaximum.ru